微积分在高中物理中的应用

邓圭恩

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。

数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。

1微积分在高中动力学中的应用

1.1利用微积分解决变速运动问题

在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：

例2：狐狸沿半径R的圆轨道以恒定速率v奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O出发以相同的速率v追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。

（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。

（2）判断猎犬能否追上狐狸。

这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。

猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。是半径为 且与原R圆相切于（ ， ）点的半圆。

猎犬、狐狸以相同速率 ，在相同时间内分别经过半径为 的半圆和半径为R的四分之一圆，一起到达图中的P点，猎犬在此追上狐狸。

从这道题的解题中，能明显看出微积分工具的优越性，追击的复杂模型用微积分很清晰的表达了出来，我们可以省略掉运动过程中对一些我们难以描述的状态的研究，使我们很轻松的解出了此题。

1.2利用微积分解决变力功率问题

高中阶段物理对于功与功率的探究在课本中内容较少，但却引申出了许多高考难题。很多同学对此不得不以刷很多的相关题型来记背，这对同学们对物理的热情产生了很大的打击，更损伤了同学们了学科思维。如果我们借助微积分来解决相关问题，不仅能较快解出问题，更能深化对相关物理量如力、速度的理解。我们分析一下下题：

例1：系统如图所示，很小的定滑轮与轻绳间无摩擦，绳的A端由变力F拉动，使A始终具有水平匀速度 ；系统的其他参量均已在图中示出，求F的功率P。

显然，此题我们紧扣 与 的关系来解，由受力与牛顿第二定律解出 便解出了此题。以此推论，我们在处理高中的功与功率时紧扣住公式 与 即可。用这种方法也更方便我们去理解物理在這方面的理论与思想。

2微积分在高中电磁学中的应用

2.1利用微积分理解交流电有效值

课本上我们了解到交流电的有效值由其热效应来定义，并直接告诉了大家正弦交流电的有效值为其电流峰值的 ，但并没有给我们能轻松理解的解释，其实，只要利用简单微积分知识就可以得出这个结论。

例3：求正弦交流电 的有效值。

我们通过定义可知，关键在于求出该电流在一个周期之内产生的热量。我们知道焦耳定律 是用来求电流产生热量的。

在电流为变量时，我们考虑极短时间内的情况：

对该式进行积分：

即：

设一恒定电流 在交流电的一个周期时间内产生的热量与上式的结果相同，那么，这个恒定电流的值即为该交流电的有效值。

即

解得这个恒定电流的值

这就得出了书上的结论了，而且这个方法相对来说十分容易理解，并且，我们可以推论其他交流电电流有效值的求法同样是设好 在进行简单的积分即可。

2.2利用微积分快速求解场强

求解场强的问题向来是竞赛入门与自招的热点，同时，也是对很多同学物理概念理解的考察。学会利用微积分来求解场强问题让我们在学会一种快速解题方法的同时，也更能让我们更好的理解场强的产生。

例4：一半径为R、厚度不计且均匀带电的圆环，环上线电荷密度为 ，求过环心垂直于环面的中轴线上的一点A（0，0，z）的电场强度。

如图，在圆环上任取一线电荷元 ，它在A点产生的电场强度为 .

由对称性可知，整个圆环在A点产生的电场强度只有沿z轴的分量.于是，只需要求的 的z轴分量即可.

易得：

对它积分即可求得圆环在A点产生的电场强度

由这里我们很容易看到微积分在求解这类电场强度问题时的优越性，原本很难理解的模型进行微分后便十分容易描述了，在进行积分即可求出我们想要的东西。其实对于类似的物理量如磁场都可以如此求解。

结语：从以上我们可以很明显的认识到微积分在高中物理中的重要作用。然而笔者从日常学习中发现很多同学即使在数学中学习了一定的微积分知识后仍然不会在物理学科中去使用。而数学作为理科中作为基础的学科，其知识在其他学科中的应用是非常重要的。希望本文能让大家更乐于去在物理中使用微积分或其他的数学知识。

（作者单位：湖南师范大学附属中学）