双螺杆压缩机多头变螺距螺杆转子数字化建模研究*

□董朋莎 □孙会来 □孙建军 □苟向锋

天津工业大学 机械工程学院 天津 300380

1 研究背景

双螺杆压缩机以结构简单、维护方便及适应性强等优点，被广泛应用于气动、制冷及石化等工业领域[1-2]。双螺杆压缩机中最核心的零部件是一对相互啮合的螺杆转子，转子的设计水平和加工质量直接决定压缩机的性能水平[3]。

螺杆转子的设计分为型线设计和螺旋线设计，型线设计分为正向设计和反向设计两种[4-6]。型线的正向设计理论较为成熟，是目前广泛应用的一种方法。当前国内外学者对于变螺距螺杆转子的研究多集中在单头螺杆转子，主要应用于螺杆真空泵[7-8]，而对于双螺杆压缩机中多头变螺距螺杆转子的研究则较少。

笔者介绍多头变螺距螺杆转子型线和螺旋线的设计过程，最终得到阴阳转子的精确数学模型，为基于离散点的变螺距螺杆转子加工刀具设计及加工方法的制订奠定了理论基础，在变螺距螺杆转子的实际生产和应用方面具有现实意义。

2 型线设计

双螺杆压缩机的转子通常为多头型线，由多段组成齿曲线组合而成。笔者基于转子型线的正向设计理论，预先定义阴转子的齿曲线组成形式，通过坐标转换和包络条件得到阳转子型线的对应各段组成齿曲线的参数方程[9]。

2.1 坐标系

为了用数学方程描述阴阳转子型线中的各段组成齿曲线，建立如图1所示四个坐标系：阳转子静坐标系X1O1Y1、阴转子静坐标系X2O2Y2、阳转子动坐标系x1O1y1、阴转子动坐标系x2O2y2。

图1 坐标系示意图

由于双螺杆压缩机的阳阴转子之间为定传动比啮合，因此其传动比i为：

式中：z2、z1分别为阴阳转子的齿数；n2、n1分别为阴阳转子的转速；φ2、φ1分别为阴阳转子的转角；R2b、R1b分别为阴阳转子的节圆半径；ω2、ω1分别为阴阳转子的角速度；A为阴阳转子的中心距。

根据图1所建立的坐标系，很容易得到阴转子动坐标系x2O2y2和阳转子动坐标系x1O1y1的坐标变换关系[4]：

2.2 包络条件式

设阴转子在动坐标系下某段组成齿曲线的参数方程为：

θ为阴转子齿曲线的参数，称为曲线参数。坐标x2和y2都是参数θ的函数，而参数θ的起点θu和终点θv决定了该段组成齿曲线的起点u坐标（x2（θu），y2（θu））和终点v坐标（x2（θv），y2（θv））。

将该段齿曲线的参数方程代入坐标转换式（4），可以得到对应曲线簇方程：

由包络线和曲线簇曲线在公切点处公切线的斜率相等，可以得到包络条件式：

φ1为阳转子的转角，决定了阳转子的位置，称为位置参数。

包络条件式（8）的隐函数表达式为f（θ，φ1）=0，移项化简可以得到由曲线参数θ表示的位置参数φ1函数表达式φ1=f（θ）。

2.3 端面型线

通过对新的不对称经典型线的分析，预先定义阴转子型线的一段齿曲线，如图2所示。阴转子齿曲线的组成形式见表1。

图2 阴转子齿曲线

表1 阴转子组成齿曲线

设阴转子上某段圆弧的圆心坐标为（x0，y0），半径为r2，则其参数方程为：

将式（9）代入坐标转换式（4），合并化简可以得到对应曲线簇的方程：

于是有：

将式（11）代入包络条件式（8），可以得到曲线参数θ和位置参数φ1之间的关系为：

移项化简，得到φ1-θ形式的包络条件式：

将上述包络条件式（13）代入式（10），可以得到阳转子在动坐标系下对应曲线段的参数方程，其参数范围仍由式（9）中θ的参数范围确定。

因此得到阴阳转子的端面型线，如图3所示。

3 螺旋线设计

图3 转子端面型线

为了提高压缩机的压缩性能，阴阳螺杆转子采用三段式设计。吸气端采用大螺距设计，以提高吸气能力。排气端采用小螺距设计，以保证空气的压缩比，而中间过渡部分则采用渐变式螺距设计[10]。考虑到变螺距螺杆转子的加工难度，三个部分连接的曲面要求平滑过渡。

端面型线的轴向引导线是圆柱螺旋线，其参数方程可以表示为：

式中：R为圆柱螺旋线半径；τ为螺旋线的缠绕角度；Pn（τ）为圆柱螺旋线轴向参数方程，其导数P′n（τ）为螺距变化的参数方程。

考虑双螺杆压缩机的相关性能指标和简化计算，吸气端和排气端为等螺距设计，即圆柱螺旋线轴向参数方程P1（τ）和P3（τ）的螺距曲线为线性变化。

式中：p为排气端的螺距，是变螺距计算的参考值；c为吸气端的螺距因子，即螺杆内部空气体积的压缩比。

转子吸气端和排气端的螺旋线轴向参数方程为：

式中：m为表示中间过渡部分轴向长度的参数，即mp为中间过渡部分的轴向长度。

为了使螺距连续变化，得到平滑过渡的连接曲面，三段螺旋线必须满足如下条件：

在（τ1，P1（τ1））和（τ2，P3（τ2））两点处，根据二节点带有二阶导数约束条件的拉格朗日型埃尔米特插值多项式理论[11]，设一个函数f（τ），τ1和τ2为函数定义域上的两点，且 τ1＜τ2，有：

联立式（17）和式（18），可得到Pn（τ）满足的插值条件为：

则P2（τ）的插值多项式为：

联立式（19）和式（20），可求得圆柱螺旋线轴向参数方程P2（τ），进一步求导，可得到表示螺距变化的参数方程P′2（τ）。

最终得到阴阳转子的变螺距螺旋线，如图4所示。

4 转子三维数学模型

阴转子或阳转子端面型线的参数方程可表示为：

图4 转子变螺距螺旋线

转子的端面型线绕各自的中心轴作螺旋运动，当端面型线相对于原始位置转过τ角时，轴线前进距离为z，则阴转子左旋螺旋面的参数方程为：

阳转子右旋螺旋面的参数方程为：

已知阴阳转子端面型线和变螺距螺旋线的参数方程，根据实际所用设备和软件的精度限制，选取合适的变量步长，编程得到一个包含阴阳转子螺旋曲面上大量三维坐标点的点云文件，将其导入Origin绘图软件，可以得到变螺距阴阳螺杆转子三维数学模型，如图5所示。

笔者所研究的阴阳转子均属于异型螺杆范畴，异型螺杆的加工一直是制造业中的一个难题，其表面质量由螺杆几何参数、刀具参数和加工参数等共同决定[12-13]。空间无瞬心包络铣削法由于高效率、高精度等优点被广泛应用于异型螺杆的加工。以阴转子为例，其加工原理如图6所示。在满足不干涉的条件下，对螺杆的旋转运动C、X、Y等轴进行插补运动，实现刀具加工螺旋槽时逐点啮合的运动关系，加工出螺旋槽的第一个截面。C、Z两轴插补形成刀具沿螺旋线方向的进给，然后螺杆反向旋转，由C、X、Y轴再插补加工出螺杆另一侧的第二个螺旋槽截面。循环以上步骤，即可将螺旋槽加工完毕。

图5 转子三维数学模型

图6 阴转子空间无瞬心包络铣削法加工原理

5 结论

笔者设计了一种由圆弧及其包络线构成的多头变螺距阴螺杆转子端面型线，结合齿轮啮合原理，推导出与其正确啮合的阳螺杆转子端面型线参数方程，阴阳转子的端面型线均可达到G1连续。

笔者同时提出一种部分渐变式变螺距螺旋线，借助拉格朗日型埃尔米特插值理论，使螺旋线达到G2连续，从而使螺杆转子三个部分的连接曲面平滑过渡。通过编程求解，得到了包含转子表面三维点坐标的点云文件，导入Origin软件建立双螺杆压缩机多头变螺距螺杆转子精确的三维数学模型，从而验证了编程求解的正确性。