基于灰色——马尔可夫模型的山西省人均GDP预测

张雅清

(太原学院,山西 太原 030012)

人均国内生产总值即人均GDP是衡量一个国家或地区人民生活水平以及经济发展的重要指标之一。为了促进经济发展,把握未来的发展趋势,研究人均GDP的发展规律是非常必要的。预测人均GDP的值对经济发展和经济策略的制定有着非常重要的作用。预测人均GDP的方法有时间序列模型、BP神经网络模型、遗传算法、组合预测方法、趋势季节回归与ARMA模型和L0mb-Scargle周期图法等等[1-6]。文中首先选取1995年—2014年山西省人均GDP数据[7]建立GM(1,1)模型进行模拟,并用马尔可夫模型进行修正弥补了灰色GM(1,1)的不足,建立灰色—马尔可夫链模型,为预测山西省未来几年的人均GDP提供了理论依据。

1 灰色—马尔可夫模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色预测模型是用离散数据列建立微分方程形式的动态模型。该模型主要是通过对样本数据进行生成处理,从而生成有规律的新的数据。GM(1,1)就是一种常用的数列预测模型,是一阶、单个变量的微分方程对生成序列进行拟合的预测模型[8,9]。灰色模型由于受到一些不规则数据的影响,因此预测精度有待进一步的提高。

灰色GM(1,1)模型的基本步骤为

1)根据原始数据做累加得到新的生成序列

设原始数据为X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…x(0)(n))

累计生成序列为X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…x(1)(n))

3)求解预测方程

将数值还原可以得到

1.2 马尔可夫模型

马尔可夫模型是一种随机模型,其最大的优势是具有马氏性,即其将来所处的状态与过去所处的状态无关,只与现在的状态有关[10]。由于该模型的特殊性及优势,使其可以广泛应用到各个领域中来进行预测。

朱大可先生支持巴别塔的说法，他把华夏神系都称为“巴别神系”——由一种神系变乱而形成的各地的神系。原因是人类都是出自非洲的同一母亲，被威尔逊命名为“线粒体夏娃”(Mitochondrial Eve)⑥，因此世界语言也起源于非洲，因为神祇名字的头一个音，音素相同率很高。如果人类的种族如所说是来自非洲的同一个祖先，而且在人类走出非洲之前就已经有语言了，那么，起初天下只有一门语言，“耶和华将人拆散了分遣各地”应该描写的是人类走出非洲时的状态。但这其中有很多疑点：

若已知初始时刻状态矩阵为λ0,且状态转移概率矩阵为P,则经过n步转移之后的状态λn即可确定为:

λn=λoPn

1.3 灰色—马尔可夫模型的步骤

一般灰色—马尔可夫模型的步骤为

1)建立GM(1,1)模型并求得相对误差值;

2)根据相对误差值的范围确定m个状态E1,E2…Em,并确定各时刻所处状态;

3)计算一步转移概率矩阵P;

4)根据GM(1,1)模型得出的预测值确定初始分布,并利用λn=λoPn预测相对误差值所处状态;

(5)计算相对误差值的数学期望,从而得到最终预测值。

2 实证分析

根据山西省1995年—2014年的人均GDP数据,利用MATLAB软件进行GM(1,1)模拟计算,可得a=-0.1362u=3105.11。从而GM(1,1)模型的预测方程为:

表1 灰色GM(1,1)模型的预测结果

由表1的计算可知，模拟计算的相对误差均值达到-4.27%,在大家的可接受范围之内,因此可以利用此模型来模拟并预测山西省人均GDP。但是,由于人均GDP受到很多随机因素的影响,可以采用随机模型中的马尔可夫链对模型进行改进,提高模型的预测精度。

在模拟模型中,当相对误差小于零时,即模拟值高于实际值,处于高估的情况。根据以上情况分析和马尔可夫的应用,将计算结果分为五个状态:

E1:极度高估状态,即相对误差小于15%,在此约定为-25%<ε≤-15%,在19年中有4年处于该状态。

E2:高估状态,即相对误差介于-15%到-5%之间,即-15%<ε≤-5%,在19年中有3年处于该状态。

E3:较为准确状态,即相对误差介于-5%到5%之间,即-5%<ε≤5%,在19年中有8年处于该状态。

E4:低估状态,即相对误差介于5%到15%之间,即5%<ε≤15%,在19年中有4年处于该状态。

E5:极度低估状态,即相对误差大于15%,在19年中没有出现该状态。

由表1的分析,只考虑状态E1、E2、E3、E4这四个状态,并且可确定一步状态转移概率矩阵为：

根据2013年山西省人均GDP模拟预测处于状态E2,可知2013年相对误差了的状态矩阵为λ0=(0,1,0,0),故可确定2014—2016年的状态矩阵分别为：

λ1=λ0P=(0.5,0,0.5,0))λ2=λ0P2=(0.375,0.25,0.1875,0.1875)

由2014年的相对误差矩阵为(0.5,0,0.5,0),即2014年预测结果处于状态E1和E3的概率各为0.5。利用数学期望公式计算可得相对误差的均值为-10%,即高估了10%。同理可得2015年和2016年的相对误差分别为-8.125%和-8.359%。由于利用GM(1,1)预测方程可得:2014年-2016年的人均GDP预测值分别为44563.33万元、51065.61万元和58516.65万元,因此,利用马尔可夫模型修正后的预测结果分别为40512.12万元、47228.31万元和54002.57万元,通过比较2014年——2016年人均GDP的真实值可知,灰色——马尔可夫模型预测的准确性和合理性都得到了较大提高。

灰色——马尔可夫模型既具有灰色模型的特点,同时又用马尔可夫模型修正了其缺点,预测了人均GDP值,预测的准确性和合理性得到了较大的改善。但是预测结果还有较大的误差,预测值都高于实际值,这与近年来山西经济受困于煤炭市场的低迷有关,山西经济亟待转型。