HP滤波方法原理及其应用情况浅析

【摘要】本文通过对时间序列趋势项处理这一话题，引入两种趋势提取方法，即时间回归法和HP滤波方法，详细介绍两种方法的原理，并重点介绍HP滤波方法在经济学界和工业界的应用，从而说明数学知识在实际应用中的重要价值。

【关键词】趋势消除法 HP滤波 经济增长 工业预测

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）34-0144-02

1.研究背景简介

在工业、能源产业、经济和金融业中，我们常常需要对某些关键指标进行分析和预测。例如某种产品的产量，某个发电厂的发电量，某项关键的经济指标，或者股票等有价证券的价格。对这些指标进行分析和预测的一大基础，就是收集过去的数据，利用过去的数据分析未来。在获取这些指标时，我们往往都是在过去的一段时间内，连续的收集和记录信息。这种随着时间变化的数据序列，我们称之为时间序列。

对时间序列进行分析和预测，一个关键的问题就是分离其中的趋势部分和随机部分。我们知道，一个时间序列往往由以下几个部分构成，主要是趋势部分，周期部分，季节波动部分和随机波动部分。其中，趋势部分随着时间的变化是相对稳定的，周期部分随着时间做周期性的波动，季节部分随时间做季节性的波动，随机部分则是由随机的外界干扰决定，很难预测。因此，当我们需要对某一项关键指标进行预测时，需要把握的最关键的部分，也就是其中的趋势部分。

事实上，在数学的视角下，我们可以把时间序列视作是一个随着时间变化的函数Y（t）。这个函数可以视作是由四个函数叠加而来，分别是趋势函数G（t），周期性函数，季节性函数和随机性函数。因此，对于时间序列的预测，可以看作是对函数的趋势项的处理。以下我们介绍两种趋势处理的方法，分别是时间回归法和HP滤波方法。

2.趋势消除法

2.1时间回归法

时间回归法是一种最简单的趋势处理的方法，这种方法的简明之处在于：它将函数随时间t变化的趋势，视作一个简单的一次函数，通过寻找到一条离函数曲线最近的直线，来代表该函数随时间变化的整体趋势。这种方法无疑是简单而且直观的，而所用的对时间回归的方法，本质上，就是我们在高中课堂上所接触到的最小二乘法。

最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。线性回归方程的关键参数是截距项和斜率项，所以残差平方和可以表示为关于这两个参数的二元二次函数：

为了求这个指标取到最小值时a和b的值，即确定对时间的回归曲线，我们借鉴高中数学中二次函数求最值时采取一阶倒数等于零的思想，用D分别对两个参数求偏导数，令其等于零。这样，我们就得到了关于两个参数的二元一次方程组，求出两个参数a和b的值，确定回归方程。从而也就确定了原始函数中随时间变化的趋势项G（t）。

2.2 HP滤波法

时间回归法虽然简单直观且计算量小，原理清晰易懂，但也存在一些问题。其中最主要的问题在于，对趋势项用时间的一次函数建模，是否可靠。我们知道，数据存在随时间变化较为稳定的趋势项，但是这个趋势项未必仅仅是一条简单的随时间进行一次变化的直线，很有可能是二次，乃至更复杂的变化方式。因此，用一次函数拟合时间趋势，是不太准确的。Hodrick 和Prescott（1980，1997）提出了HP滤波方法。他们认为时间序列的趋势项既不是永远不变也不是随机变动，其趋势是缓慢变动的。下面简要介绍HP 滤波法的基本方法。这种方法是Hodrick 和Prescott采用对称的数据移动平均方法原理，设计的一个滤波器（即HP 滤波器），该滤波器从时间序列yt中得到一个平滑的序列gt（即趋势部分），gt是下列问题的解：

在上式中，第一部分与时间回归法即最小二乘法涉及到的公式类似，这部分数值越大，说明该序列gt离原始序列越远，最小化这个公式中的第一部分的本质是希望新的序列离原始时间序列尽可能的近，也就是尽可能的还原原始序列；而第二个部分体现了新的序列gt的平滑性。这个部分越小，说明原始序列的变化越慢，也就是随时间的变化越不明显，最小化这个公式中的第二部分的本质是希望新的序列gt能够尽可能的平滑，从而使得趋势序列的可预测性和可把握性越好。而参数λ则是对两个部分的一种权衡。通过调节λ的值，我们可以自由设置这个HP滤波器的性质，从而使其滤出既贴近原始序列，又具备一定光滑性的新序列。

3.HP滤波方法的应用情况浅析

在第一部分我们已经提到，在工业、能源产业、经济和金融业中，我们常常需要对某些关键指标进行分析和预测。对这些关键指标形成的时间序列进行分析和预测，就需要用到HP滤波方法。

3.1用HP滤波方法分析经济增长

HP滤波方法最经典的应用，是在宏观经济的领域。经济数据是社会生产和人类活动的总和，因此，经济数据既体现出一定得规律性，又体现出一定的随机性和波动性。数十间年，关于用HP滤波方法对经济增长的研究越来越深入，充分体现了这种方法对于研究社会经济情况的适用性。事实上，正是经济增长本身的数据结构使得其适用于这种方法的研究。经济增长的过程中，最主要的是受到生产力的影响，生产力直接决定了经濟增长的潜力。但同时，季节因素和地理、政治等因素，也不可避免的会对其产生影响。生产力的发展随时间变化是比较稳定，但不是完全线性的。因此，用HP滤波方法，可以很好的拟合经济增长的趋势项。

3.2基于HP滤波的工业数据预处理

HP滤波方法还可以用来做电力负荷的预测。用时间序列模型做电力负荷预测时，季节性是预测重点分析的因素项。然而，如果直接去考察季节性因素，会发现季节性因素的参数在调整过程中多数情况下不显著，这不利于我们用更进一步复杂的模型建立后的预测过程。鉴于这种情况，就需要对原序列进行修整，将HP滤波法应用到复杂的模型建立之前，首先去除掉原始序列中存在的趋势项，从而更好地分析季节因素的影响。

4.小结

从上述分析中我们发现，HP滤波方法是一种有效的提取数据的趋势项的方法， 其原理是对最小二乘法的继承和发展，通过最小化两部分函数，HP滤波方法提取出的趋势项，既不是简单的随时间做一次函数变化，也不是完全随机的，而是既贴近原始序列，又具备一定光滑性的新序列。因此，HP滤波方法在经济学界和工业界都有广泛的应用，这也体现了数学知识在实际应用中的价值。

参考文献：

[1]韩蓓.HP滤波法及其在地区潜在经济增长率测算中的应用[J].经济师，2009（01）：28-29+36.

[2]焦继文，陈文天.基于HP滤波法的我国房地产周期与房地产政策关联性研究[J].建筑经济，2012（08）：79-83.

作者简介：

刘鸿宇（2001.9.9-），男，山东人，就读于山东即墨区实验高级中学，高中在读，研究方向是数学。