中学数学求异思维的五种基本形式

刘冬喜

中学数学是具有较严密的逻辑系统的基础学科，偏向定向式的思维模式，为了使学生的思维不陷入僵化，加强求异思维的训练是很有必要的.对学生求异思维能力的训练可以通过具体的一空多填、一题多变、一题多解等方式来进行，这也是心理学所倡导且为大多数人所接受的训练方法.但是要想更自觉、更有效地对学生进行求异思维的训练，就必须首先弄清楚求异思维的基本形式.数学对象是丰富多样的，因此研究这些对象的求异思维也并非千篇一律，下面就求异思维的五种表现形式与大家探讨.

1.放射求异

放射求异是从同一条件出发，进行大幅度、多方位的联想判断，追求尽可能多的答案的思维过程和方法.数学知识间存在着广泛的纵横联系，而且同一知识又有多种不同的表现形式，这就决定了由同一刺激引起的联想的多向性.

例如，求数列1， ，1， ，1， ，···的通项公式an=fn，经过放射求异可得到答案

①an=1（n为奇数） （n为偶数）

②an=

③an=1+ │cos │

④an=（ ）

⑤an=（ ）

放射求异具有流畅开阔的特点，通过放射求异可以建立数学知识之间的纵横联系，使学生对数学知识产生网状结构感.

2.反向求异

给出问题的结论，并列地从多个方向追索使结论成立的条件，这就是反向求异思维。从形式上看，这是一种逆向思维，但却不把某一已知条件作为唯一目标，表现出了思维的深刻性品质.

例如，在通常情况下，都是由给定条件求出直线的某种特殊形式，再将其化为一般形式Ax+By+C=0，现在给出直线方程3x-y+3=0，求确定直线的条件，可沿下列四个方向进行：

①化为斜截式y=3x+3，故直线由斜率k=3，截距b=3确定；

②化为截距式 + =1，故直线由横、纵截距a=-1，b=3确定；

③化为点斜式y-0=3（x-1），故直线由斜率k=3，定点（-1，0）确定；

④化为两点式 = ，故直线由两点（-1，0）、（-2，-3）确定.

其中③、④两种情况都有无穷多种表达式.经过如上的反向求异，学生会对“两个独立条件确定一条直线”产生更具体、更强烈的认识.长期的单向思维使学生的思维呆板，要使学生由顺向转逆向，教师应经常提出相反思路，对学生进行反向求异思维的训练.

3.对比求异

利用问题之间的正反对比和相似对比揭示知识之间的联系和区别，从而获得问题的准确答案的思维过程和方法就是对比求异.通过对比求异训练，可以帮助学生克服思维的盲目和片面，克服知识和技能的负迁移.

例如，通过对以下问题的正反对比，揭露问题2的错误，有利于学生形成正确的空间概念.

问题1：“平面内过一已知点垂直于一已知直线的直线有且只有一条.”

问题2：“空间中过一已知点垂直于一已知直线的直线有且只有一条.”

通过以下问题3、4、5的相似对比，有助于加深学生对椭圆切线方程的本质理解.

问题3：过椭圆 + =1上一点P（x0，y0）的橢圆切线方程为 + =1.

问题4：过椭圆外一点p（x0，y0）所引椭圆的两条切线的切点的直线（切点弦）方程为 + =1.

问题5：通过椭圆内一点的直线与椭圆有两个交点，求过这两个交点的两条切线交点的轨迹方程为 + =1

4.分析求异

对欲证命题进行执果索因的分析，捕捉促成问题转化的各种信息，沿着各个转化方向寻找解决问题的多种途径的思维过程就是分析求异.

例如，三角恒等式tan2α-sin2α=tan2αsin2α的证明思路可通过如下分析获得

①tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩tan2α（1-sin2α）=sin2α

？坩tan2αcos2α=sin2α

？坩sin2α=sin2α

②tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩tan2α=sin2α（1+tan2α）

？坩tan2α=sin2α·

？坩tan2α=tan2α

③tan2α-sin2α=tan2αsin2α

？坩 =

？坩 =

？坩 =

分析求异是数学解题的传统的成功方法，对综合能力水平不高的中学生更有不可取代的作用.

5.反馈求异

所谓反馈求异就是对理论上证明了的命题，通过列举正面例子说明其合理性，列举反面例子说明其不合理性.

例如，对于“若a、b、c∈R+，则a3+b3+c3≥3abc”可以从三个方面举例进行反馈求异：

①令a=1，b=2，c=3；

②令a=1，b=2，c=-4；

③令a=-1，b=-2，c=4.

由①知命题为真，由②知不满足题设条件则不等式可能不成立，由③知不等式的条件可放宽为a+b+c≥0.通过反馈求异可以加深学生对定理条件的认识，从而从本质上把握定理，避免应用定理解题可能犯的错误.

从求异思维的形式和特点可以看出，求异思维是一种不依常规、勇于开拓的创造性思维，对于培养创新型人才有着积极的作用，应该予以重视.

编辑/王一鸣 E-mail：51213148@qq.com