一类时滞不确定系统的有限时间 非脆弱L2-L∞滤波器设计

何舒平，吴珊珊

(安徽大学 电气工程与自动化学院，安徽 合肥 230601)

在系统分析和设计中，由于测量误差、干扰信号等因素的影响，建立的系统模型不可避免存在不确定性和时滞性，导致系统模型大都是近似描述.针对不确定系统，文献[1-3]研究了鲁棒控制方法[4-5]用于不确定因素导致的不稳定系统.针对一类线性时滞系统，文献[6]采用Lyapunov稳定理论[7]以及矩阵分析方法，通过对范数有界不确定参数矩阵的限制，给出了系统稳定的充分性判据.需要说明的是，现有文献研究的鲁棒特性更多的是基于Lyapunov稳定理论，描述的是系统在无穷时间区域内的稳态性能.实际上，系统在有限短时间内的轨迹和暂态性能也非常重要.针对这种情况，Dorato等[8]提出了有限时间(或短时间)稳定[9-11]概念.与Lyapunov稳定概念不同的是，有限时间稳定关注的是系统在给定的短时间内的状态轨迹和暂态性能.

近10年来，有限时间稳定问题得到了学术界的广泛关注，并在时滞系统、随机系统等领域取得了很多的成果，得到的相关概念有：有限时间有界、有限时间镇定、有限时间控制和有限时间滤波[12-14]等.Kalman滤波[15]和Luenberger观测是滤波常用的估计方法，但这两种方法针对的是确定性系统，要求模型精确已知，且外部扰动必须为白噪声或谱密度已知的噪声.但在多数工业应用中，精确的系统模型通常难以获得，这种情况下，可使用鲁棒滤波.作为鲁棒滤波的其中一种，鲁棒L2-L∞滤波一般适用于噪声输入为能量有界的情形.笔者结合有限时间稳定和鲁棒L2-L∞滤波，研究一类时滞不确定系统的有限时间非脆弱L2-L∞滤波器设计问题.通过构造合适的Lyapunov函数，给出系统有限时间非脆弱L2-L∞滤波器存在的充分条件，通过仿真示例证明该文设计的可行性.

1 系统描述

考虑如下一类含时滞和不确定参数的线性动态系统

(1)

(2)

其中：M1，M2，M3，N1为已知的常数矩阵；Γ(t)是一个元素为Lebesgue可测的不确定矩阵函数，且满足ΓΤ(t)Γ(t)≤I.

对于时滞不确定系统(1)，考虑如下的非脆弱滤波器

(3)

其中：xf(t)∈Rn为系统的滤波器估计状态；zf(t)∈Rl为系统的滤波器输出；xf0为滤波器初始估计状态；Af，Bf，Cf，Df，Ef为待求的滤波器参数；ΔAf，ΔBf为滤波器受扰参数，且满足

(4)

系统的估计状态误差和被控输出误差分别定义为

e(t)=x(t)-xf(t)，r(t)=z(t)-zf(t)，

则可得到如下的滤波器误差动态系统

(5)

其中

定义1对于给定的时间区间[0,T]，其中T>0，如果不等式x0ΤRx0≤c1⟹xΤ(t)Rx(t)≤c2,t∈[0,T]成立，则滤波器误差动态系统(5)是关于(c1,c2,T,R,d)有限时间有界的(其中c10).

定义2存在滤波器参数Af，ΔAf，Bf，ΔBf，Cf，Df，Ef及正数γ，若滤波器误差动态系统满足如下要求：

(2) 在零初始状态下，滤波器误差动态系统(5)满足如下的范数界为γ的有限时间L2-L∞扰动抑制性能

(6)

则滤波器(5)是线性系统(1)的有限时间非脆弱滤波器.对给定的滤波器误差动态系统(5)和性能指标(6)，分别考虑满足定义1，2的有限时间状态估计滤波器的设计问题.此外，需要引用如下引理：

引理1设AΤ=A，M和N为常数矩阵，x(t)是有界的，且满足XΤ(t)x(t)≤I，如果有不等式

A+Mx(t)N+NΤXΤ(t)MΤ<0，

(7)

则存在常数ε>0，满足如下不等式

A+εMMΤ+ε-1NΤN<0.

(8)

2 主要结论

定理1对于给定的T>0，α>0，c1>0，d>0，R>0，如果存在正数c2>0，以及正定对称矩阵P∈Rn×n，Q∈Rn×n，满足

(9)

(10)

其中：

则滤波器误差动态系统(5)是关于(c1,c2,T,R,d)有限时间有界的.

证明构造Lyapunov方程

(11)

并引入如下函数

(12)

对不等式(12)，两边乘以e-αt，再积分可得

(13)

令

计算可得

(14)

显然，对于∀

可由不等式(10)保证.证毕.

定理2对于给定的常数T>0，α>0，c1>0，d>0，如果存在正定对称矩阵P∈Rn×n，Q∈Rn×n，使得式(9)，(10)及下式成立

(15)

则滤波器误差动态系统(5)是关于(c1,c2,T,R,d)有限时间有界的(其中c10)，并且满足条件(6)给出的输入输出性能指标.

证明定义与定理1相同的李雅普诺夫函数，在零初始条件φ(t)=0，t∈[-τ,0]，可将式(13)改写为

(16)

由式(15)，运用Schur补引理可得

(17)

则有

(18)

定理3对于给定常数T>0，α>0，c1>0，d>0，如果存在正定对称矩阵P∈Rn×n，Q∈Rn×n，X∈Rn×n,Y∈Rn×q，Cf∈Rl×n，Df∈Rm×n，正数c2，γ，σ1，σ2，使得如下矩阵不等式成立

(19)

(20)

(21)

R

(22)

0

(23)

其中

φ11=P1A+AΤP1-αP1+Q1+a-1N1ΤN1+c-1N2ΤN2,

φ12=AΤP1-XΤ-CΤYΤ-c-1N2ΤN2,φ22=X+XΤ-αP1+Q1+c-1N2ΤN2,

Df=Df,

证明为了方便起见，取P=diag{P1，P1}，Q=diag{Q1，Q1}，R=diag{R1，R1}，将

代入式(9)，可得

Λ+ΔΛ<0，

(24)

其中

Π12=AΤP1-XΤ-CΤYΤ,Π22=X+XΤ-αP1+Q,Π23=P1Ai-P1Bf,

Π25=P1B-P1CfD,Ψ11=P1ΔA+ΔATP1,Ψ12=ΔAΤP1-ΔAfΤP1-ΔCΤYΤ,

Ψ22=P1ΔAf+ΔAfΤP1,Ψ23=P1ΔAi-P1ΔBf.

进一步可得

(25)

证毕.

注考虑到不等式(19)～(23)受限于X，Y，Z，P1，Q1，c1，c2，d，T，τ，σ1，σ2，γ2，可通过设置γ2作为优化变量，得到如下优化问题

(26)

3 数值仿真

仿真涉及的时滞不确定线性系统的系数矩阵为

初始条件为c1=0.2，T=5，τ=0.1，d=1，α=0.01，x1(0)=xf1(0)=0.4，x2(0)=xf2(0)=0.1，且选择Γ(t)=0.1sin(t)，仿真可得系统(1)式的状态响应x1(t)和xf1(t)、状态响应x2(t)和xf2(t)、状态估计误差e1(t)和e2(t)、响应函数xΤ(t)Rx(t)，分别如图1～4所示.从图1～4可以看出，时滞不确定线性系统在L2-L∞滤波器的作用下渐进稳定，因此该文设计具有可行性.

图1 状态响应x1(t)和xf1(t)

图2 状态响应x2(t)和xf2(t)

图3 状态估计误差e1(t)和e2(t)

图4 响应函数xΤ(t)Rx(t)

4 结束语

笔者设计了一类含有时滞和不确定参数线性系统的有限时间非脆弱L2-L∞滤波器.选取合适的Lyapunov函数，并采用线性矩阵不等式技术，给出并证明了时滞不确定系统的有限时间非脆弱L2-L∞滤波器存在的充分条件，且将滤波问题转为优化问题.设计的有限时间非脆弱滤波器的误差动态系统有限时间稳定，且满足L2-L∞的性能指标.仿真结果表明该文设计具有可行性.