基于曲线拟合的AR模型在地铁施工监测中的应用

高志钰，李建章，张秀霞

(1.兰州交通大学 测绘与地理信息学院，甘肃 兰州 730070；2.甘肃省地理国情监测工程实验室，甘肃 兰州 730070；3.兰州理工大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070)

地铁施工阶段进行变形监测是完全有必要的，监测的意义在于及时掌握变形体自身及其周围环境影响引起的沉降和位移变化，并采取合理的措施来减少损失；实时积累监测数据，分析变形规律，预测其变形趋势，极大程度地减少地铁建设各个阶段存在的安全隐患[1-3]。

近年来，对变形监测数据进行分析与预报的方法与模型逐渐增多，主要有灰色理论模型[4]、Kalman滤波模型[5]、人工神经网络模型[6]、时间序列分析模型[7-9]以及组合模型[10-12]等，这些方法理论与模型得到广泛应用，并取得了不错的预测效果。其中，AR模型通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件的约束，并且AR模型具有结构简单、参数估计是线性估计等优点，是时间序列分析中应用最广泛的模型[13-15]。考虑到AR模型要求数据序列平稳，需对数据进行差分处理，造成残差信息的浪费，导致精度不够理想[16]。此外，变形监测数据具有很明显的趋势性，采用单纯的AR模型进行建模预测，精度不是很好[17]，具有一定的局限性。本文将采用曲线拟合方法代替差分法进行趋势项的消除与减弱，即对经典的AR模型进行改进，对监测数据进行合理的分析与预测，以期达到更高的预测精度，达到更佳的预测效果。

1 原理与方法

1.1 曲线拟合

曲线拟合是趋势分析法中的一种，主要通过各种光滑曲线来描述事物发展的基本趋势。通常情况下可采取的模型主要有：多项式趋势模型、对数趋势模型、幂函数趋势模型、指数趋势模型、双曲线趋势模型、修正指数模型、Logistic模型以及Gompertz模型等[18]。对曲线拟合还需进行显著性检验，即对拟合的效果进行检验，检验方法主要有F检验法、相关系数检验法[19]以及相关指数检验法[20]。本文采用多项式拟合的方式进行曲线拟合，采用F检验法对拟合效果进行检验，如表1所示。

表1 方差分析表

1.2 AR模型

1.2.1 AR模型原理

对于平稳、正态、零均值的时间序列{xt}，若{xt}的取值不仅与前n步的各个取值xt-1,xt-2,xt-3,…,xt-n有关，而且还与前m步的各个干扰at-1,at-2,…,at-m有关(n,m=1,2,…)，则按多元线性回归的思想，可得到最一般的ARMA模型：

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n-θ1at-1-

θ2at-2-…-θmat-m+at,

(1)

(2)

式中，φi(i=1,2,…,n)称为自回归(AR)参数；θj(j=1,2,…,n)称为滑动平均(MA)参数；{at}这一序列为白噪声序列。式(1)称为{xt}的自回归滑动平均模型，记为ARMA(n，m)模型。特殊的，当θj=0时，模型(1)变为

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n+at.

(3)

式(3)称为n阶自回归模型，记为AR(n)。当φi=0时，模型(1)变为

xt=at-θ1at-1-θ2at-2-…-θmat-m.

(4)

式(4)称为m阶滑动平均模型，记为MA(m)。

1.2.2AR模型的建模步骤

1)对原始观测数据的正态性、平稳性以及零均值进行检验，对不符合平稳化要求的序列进行差分处理提取趋势向，得到残差序列{xt}。

2)通过计算残差序列的自相关函数及偏自相关函数的截尾、拖尾性来初步判断残差序列{xt}所适合的模型结构。

3)采用自相关函数与偏相关函数定阶法确定模型的阶数，并利用最小二乘估计法进行模型参数的估计。

4)预测模型的建立，对预测模型进行检验，选择最佳的预测模型AR(p)。进而根据AR(p)模型进行逆向还原，建立最终的预测模型，得到模型预测结果，并依此判断原观测序列与模型预测值之间的误差值大小。

1.3 基于曲线拟合的AR模型

基于曲线拟合的AR模型，即对传统的AR模型进行了改进，其建模与预测的步骤如下：

1)结合原始观测数据，选择合适的曲线拟合模型；

2)利用Origin软件进行曲线拟合图的绘制，并进行显著性水平检验，若拟合结果具有显著性，则依此得到相应的拟合结果值；

3)计算得到原始观测数据与相应拟合数据之间的残差序列{xt}；

4)利用得到的残差序列{xt}，建立改进的AR模型，得到改进的AR模型的预测结果；

5)两种方法所得预测结果进行对比，得出结论。

2 实例分析

在某地铁施工过程中，利用DNA03数字水准仪对施工现场一系列沉降点每隔12 h进行一次监测，得到各沉降点的监测数据。对这些沉降点逐个进行分析与预测，亦可得到相同的结论。由于篇幅有限，本文将选取其中某一个沉降点的30期监测数据进行分析，监测数据如表2所示。利用1～20期数据进行模型的建立，对21～30期数据进行预测，将预测结果与原始观测结果进行对比，判断预测结果的精度。

表2 原始观测数据 mm

1)AR模型。对原始观测数据序列进行预处理，采用二阶差分法对其趋势向进行去除，使残差序列基本稳定。通过对残差序列的自相关函数和偏自相关函数计算，确定其模型为AR(2)模型。对AR(2)模型进行逆向还原，得到最终的数学模型，计算出预测结果。

2)改进的AR模型。对原始观测序列进行曲线拟合，本文选取多项式拟合的方式进行，并利用Origin软件绘制拟合曲线图，并对其进行显著性检验，结果如图1、表3所示。由表3可知，F(9,20)=12.308，F0.01(9,20)=3.46，F(9,20)> F0.01(9,20)，因而建立的多项式拟合方程非常显著，即所建立的拟合方程与原始观测数据拟合的很好。进而得到原始观测序列与拟合数据序列{xt}，建立改进的AR模型，得到最终的预测结果。

图1 拟合曲线结果

表3 拟合效果分析

3)对比分析。两种模型预测结果如表4所示。对AR模型与改进的AR模型所得预测结果进行精度对比分析，结果如表5所示。

表4 模型预测结果

表5 结果精度分析

由表5可以看出：改进的AR模型所得预测结果的平均相对误差、平均绝对误差、误差值平方和都比AR模型所得结果小。所以，基于曲线拟合的AR模型预测结果较AR模型而言，具有较高的预测精度，结果更加可靠，可以用于地铁施工监测中。

3 结束语

AR模型能够较准确对变形数据进行分析与预报，具有一定的预测精度，可以用于工程实践中。曲线拟合可以精确地提取出相关变形数据的趋势向。因而，在曲线拟合的基础上，建立改进的AR模型，其结合了两者优势，从而在很大程度上提高了模型的预测精度，减小了预测误差。