基于Kalman滤波的GM(1,1)-AR模型在高层建筑物沉降变形分析中的应用

陈 晨，魏冠军，寇瑞雄，高志钰

(1.兰州交通大学 测绘与地理信息学院，甘肃 兰州 730070；2.甘肃省地理国情监测工程实验室，甘肃 兰州 730070)

变形监测分析的意义主要是掌握各种建筑物和地质构造的稳定性，为安全诊断提供必要的信息，以便及时发现问题并采取措施。近年来，随着建设水平和施工技术的提高，越来越多的建筑物向着高层、超高层发展。建筑物增高必然引起荷载增加，在上部结构和地基基础的共同作用下，建筑物将会发生不均匀的沉降，影响使用的安全性。因此，定期对大型建筑物进行变形监测，掌握其变形规律，并对其未来的发展趋势进行准确地预测具有重要的意义。

变形监测的数据分析与建模方法主要有：回归分析法、时间序列分析、灰色系统分析、卡尔曼滤波模型和人工神经网络模型等[1]。各种方法都有自身的优缺点，随着变形检测技术的发展，单一的模型分析已不能满足工程设计的要求。在当今的变形监测中，多数采用组合模型对变形数据进行分析和预测。黄宁等人将灰时序组合模型运用到建筑物沉降变形分析中，唐争气等人将灰时序组合模型运用到基坑监测中，都发现灰时序GM-AR组合模型无论是拟合还是预测精度相对于单一模型有明显的提高[10-11]。但是，灰时序GM-AR组合模型虽然在一定程度上对GM(1,1)模型进行改正与优化，但非线性GM(1,1)-AR组合模型并不能对非平稳、含噪时间序列信号进行优化处理。针对上述问题，本文提出一种基于卡尔曼滤波的GM(1,1)-AR模型的新算法，其数据分析和建模预测的思路是：首先是运用卡尔曼滤波算法对原始观测数据进行滤波消噪处理，获取有效地实际变形量，然后利用GM(1,1)模型对滤波值进行建模预测，提取其中的趋势项，再利用AR时间序列模型对残差序列进行建模预测。运用此算法到高层建筑物沉降的工程实例中，将得到的预测结果与单一的GM(1,1)模型和GM(1,1)-AR模型的预测结果相比，其模型综合精度和模型可靠性均有所提高。

1 基于Kalman滤波的GM(1,1)-AR模型

1.1 GM(1,1)模型

我国学者邓聚龙教授于上世纪80年代提出GM(1,1)模型，其意在研究少数据、小样本、贫信息等不确定性问题[2-7]。该模型的基本原理：

设有一组非负初始数据序列x(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，其中，n为序列长度，k=1,2,…,n。对该原始序列进行第一次累加生成序列(1-AGO)：

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}.

(1)

对式(1)进行时间求导建立一阶线性微分方程，此方程也称为GM(1,1)模型的影子方程或白化方程

(2)

式中：a，b为待定系数，a称为发展灰数，它反映了数据序列估计值(包括预侧值)的发展态势，b称为灰作用量，它的大小反映数据的变化关系，在系统中相当于作用量。由文献[2]对方程(2)求解，可得到影子方程的时间响应式：

(3)

最后经过累减以后还原数据，生成GM(1,1)预测模型：

(4)

1.2 AR自回归模型

设时间序列{yk}是平稳、正态、零均值的序列。其自回归模型为[8-11]

yk=φ1yk-1+φ2yk-2+…+φpyk-p+ak.

(5)

式中：φ1，φ2，…，φp是自回归模型参数，ak为白噪声序列，p为模型阶数，p的取值为正整数。

令k=p+1，p+2，…，N，则：

(6)

对p取值，令p=1，则可得AR(1)的模型为

(7)

以此类推，可得到AR(2)，AR(3)，…，AR(p)。

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对于AR模型的参数估计，一般采用最小二乘的方法，对于模型阶数p的确定采用最小信息准则(AIC)，即

AIC(p)=N·Inσ2+2p.

(8)

式中：p为序列数据总个数，使上式的值达到最小时所对应的p为最佳阶数，p的数值一般是不大于5的，σ2为各阶数对应的残差方差。

1.3 卡尔曼滤波原理

卡尔曼滤波一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法[12-15]。它的数学模型分为状态方程和观测方程两部分，其离散化形式表示为

Xk=Φk/k-1Xk-1+Fk-1Wk-1，

(9)

Lk=HkXk+Vk.

(10)

式中：Xk为tk时刻系统的状态向量(n维)；Lk为tk时刻对系统的观测向量(m维)；Φk/k-1为时间tk-1～tk的系统状态转移矩阵(n×n)；Wk-1为tk-1时刻的动态噪声(r维)；Fk-1为动态噪声矩阵(n×r)；Hk为tk时刻的观测矩阵(m×n)；Vk为tk时刻的观测噪声(m维)。

根据最小二乘原理，可以推得离散随机系统的Kalman滤波的递推公式，预测值为

(11)

预测值的方差矩阵为

(12)

状态估计值为

(13)

状态估计值的方差矩阵为

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1.

(14)

(15)

初始状态条件为

1.4 基于Kalman滤波的GM(1，1)-AR预测算法

前面分别叙述了GM(1，1)模型、AR模型和卡尔曼滤波算法的基本原理。基于卡尔曼滤波的GM(1，1)-AR算法结合卡尔曼滤波算法能有效地减弱随机噪声的干扰、GM(1，1)模型对趋势项的拟合强度大和AR模型善于分析平稳、零均值的随机信号等特点。基本过程是首先利用卡尔曼滤波对原始数据进行滤波处理，消除随机误差干扰噪声的影响。再利用GM(1，1)模型对滤波后数据进行建模预测提出趋势项，得到残差序列，最后利用AR模型对残差序列进行建模预测。该算法的流程如图1所示。

图1 基于卡尔曼滤波的GM(1，1)-AR算法流程

2 工程实例分析

2.1 工程简介

某高层建筑物在一段时间内进行了一系列观测。由于本论文篇幅有限，选取2号沉降点前12期沉降监测值为原始数据进行测试。以前6期数据作为原始序列，首先运用卡尔曼滤波对其建模数据进行消噪处理，然后用GM(1，1)-AR模型对滤波值建模，再对后6期数据进行预测，可以得到原始监测值与预测值的残差，以残差的大小来检验预测模型的可靠性。

表1 2号沉降点前12期沉降监测值

2.2 模型预测与精度评定

根据变形监测的规范要求，高层建筑物沉降监测按照四等沉降变形测量的技术指标进行变形监测，故取观测噪声方差Rk=1，动态噪声方差Qk=4。把监测点的初始位置和变化速率当作状态参数，根据前2期监测值的平差值可求得初期状态向量X0及其相应的方差阵P0，其结果：

运用MATLAB设计卡尔曼滤波程序，对前六期数据进行滤波处理，得到的结果如表2所示。

表2 原始数据滤波值

通过表2可以看出，实测值与滤波值残差的绝对值从第2期开始收敛，变化趋势越来越小，渐渐趋近于0，表明原始数据变化波动变小，其随机误差噪声得到了有效地减弱。在此基础上，利用GM(1，1)模型对滤波值进行建模预测提出趋势项，得到残差序列，最后利用AR模型对残差序列进行建模，同时预测后6期观测数据。预测结果如表3所示。

三种模型预测结果图如图2所示。

图2 各模型预测结果对比

表3 三种模型预测结果比较 mm

从图2可以看出基于卡尔曼滤波的GM(1，1)-AR模型的预测结果相比其它两种模型，该曲线更加光滑、变化波动更小，且随着时间的增加，该模型预测值与实测值的结果越来越接近。

根据表3的模型预测结果和表4的模型预测精度相比较来看，基于卡尔曼滤波的GM(1，1)-AR模型的平均绝对误差为-0.049 9 mm，残差方差为0.001 9 mm，这个结果相比于传统的GM(1，1)模型和GM(1，1)-AR模型的预测结果，预测精度有明显的提高。这说明卡尔曼滤波的效果良好，可以有效地减弱随机误差噪声对于预测结果的影响。

表4 三种模型预测精度比较

3 结 论

本文介绍卡尔曼滤波、灰色GM(1,1)模型和AR模型的基本原理。在这三种模型的基础上建立一种基于卡尔曼滤波的GM(1,1)- AR的新模型，并将其应用到高层建筑物沉降的工程实例中。实验结果表明，基于卡尔曼滤波的GM(1,1)- AR模型相比与其它三种模型的预测效果更好。卡尔曼滤波在一定程度上消除随机误差噪声的干扰，且保留原始数据的特征，同时又结合灰色GM模型对于趋势项提取的规律性和AR模型随机预测性等优点，实现三种模型的优势互补，在一定程度上弥补单一模型的缺陷。由此可见，这种新模型在测量环境较为复杂的高层建筑物沉降变形分析中有较强的适用性。