基于Bezier和正交试验的涡轮叶片参数优化设计

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(中国石油大学(华东) 机电工程学院，山东 青岛 266580)

在钻井中使用涡轮钻具，可以大幅提高钻井速度、缩短建井周期，降低钻井成本。涡轮钻具中最主要的工作部件是涡轮定子和转子，涡轮定转子叶栅的水力性能决定了涡轮钻具的性能，而叶片截面型线的造型设计在涡轮叶栅的设计中最为重要。因此，建立涡轮叶片的参数化模型是对叶片进行优化设计的前提和关键。张晓东等[1]利用三阶Bezier曲线和Turbosystem系统建立了一套涡轮钻具叶片参数化造型、性能预测及优化设计的数值模型；贾雷等[2]利用de Casteljau递推方法求出涡轮叶盆叶背的4个控制点，结合三阶Bezier曲线实现对涡轮叶片的造型；A.Mokaramian等[3]利用流体力学软件CFD对小尺寸涡轮钻具的性能进行分析，证实叶轮采用非对称叶型可满足小尺寸连续管钻进深层坚硬岩石。C Vessaz等[4]采用了包括几何建模、网格生成，CFD模拟和遗传优化的设计方法，提出了一种新的涡轮叶片设计和制造方法。

Bezier曲线造型得到的型线受控制定点影响，进而影响涡轮叶片的水力性能。针对控制点选取这一问题，本文对涡轮叶片型线的参数化模型进行推导，利用计算流体力学方法对ø127 mm涡轮进行数值模拟并结合试验数据验证数值仿真手段的可行性，再利用正交试验[5]的方法以叶片形状控制参数为因素，以涡轮的转矩和效率为指标，对叶片型线进行优化设计。

1 涡轮转子叶片参数化模型

1.1 Bezier曲线

Bezier曲线[6-7]是一种应用广泛的逼近曲线，其参数多项式可以表示为如下形式：

(1)

(2)

Bezier曲线的切矢性对实现二维叶片叶型角的控制非常方便，非常适合涡轮叶片型线的参数化造型设计，通过调整控制定点的坐标可以很方便地修改曲线形状。

1.2 涡轮转子叶片主要参数

涡轮叶片主要参数[8]如图1所示：叶片入口结构角β1k、叶片出口结构角β2k、进口前缘边楔角(前锥角)φ1、出口后缘边楔角(后锥角)φ2、轴向弦长(叶片高度)S、进口前缘半径r1、后缘半径r2和叶片安装角(叶片弦线的倾角)βm、叶栅距T。

图1 涡轮转子叶片参数

1.3 涡轮叶片型线关键坐标点求解

以涡轮转子叶片进口边为轴建立图2所示坐标系，叶片进口圆O1与y轴相切，设切点为d，出口边与出口圆O2相切，切点为k。L为叶片弦线，点f、h分别是弦线L与叶片进口圆O1和出口圆O2的切点。点H是叶盆曲线在起始点C点和终止点E点切线的交点，点G是叶背曲线在起始点B点和终止点D点切线的交点，由于点C,E,B,D是衔接4段曲线的过渡点，在涡轮叶型设计中，要求涡轮叶片型线无曲率突变，所以直线HC和直线HE同时也分别是叶片进口圆O1和出口圆O2在点C和点E处的切线，同理，直线GB和直线GD同时也分别是叶片进口圆O1和出口圆O2在点B和点D处的切线。

图2 涡轮转子型线计算坐标系

点M1的坐标为

(3)

点M2的坐标为

(4)

点N1的坐标为

(5)

点N2的坐标为

(6)

1.4 涡轮叶片型线的三阶Bezier曲线参数化表示

1) 叶盆曲线的贝塞尔方程。

取点C、点M1、点M2和点E作为叶盆曲线贝塞尔方程的控制顶点，叶盆曲线型线方程为：

(7)

式中：t∈[0,1]。

2) 叶背曲线的贝塞尔方程。

取点B、点N1、点N2和点D作为叶背曲线贝塞尔方程的控制顶点，叶片叶背曲线的型线方程为：

(8)

式中：t∈[0,1]。

(9)

式中：r1为前缘半径；(xO1,yO1)为点O1坐标。

(10)

式中：r2为后缘半径；(xO2,yO2)为点O2坐标；S为叶片轴向弦长。

式(7)～(10)共同组成了涡轮叶栅叶片三阶贝塞尔曲线型线方程。叶盆叶背曲线的控制点坐标M1、M2、N1、N2由α,β,γ,μ决定，通过调整这4个形状控制参数,即可获得不同形状的叶盆叶背曲线。

以上方程以涡轮转子叶片为例推导而出，对于涡轮定子叶片的型线，完全可以利用该方法进行推导。对于冲击度系数[8]为0.5的涡轮，定子叶片和转子叶片的结构参数和形状完全相同，使用时转子和定子互相对称，互成镜像。

1.5 涡轮叶片的计算机辅助设计

利用VB编制三阶贝塞尔涡轮型线设计软件，实现计算机辅助设计。令α=β=γ=μ=0.2，以如表1所示设计参数[9]为例。设计结果如图3所示。

图3 涡轮叶型设计界面

涡轮叶片型线曲率分布如图4。由图4可以看出，叶片吸力面和压力面曲率变化平滑，没有出现突变现象，叶盆曲线曲率峰值约为0.3～0.4，叶背曲率峰值约为0.4～0.5，两条曲线的尾部曲率变化缓慢平滑，叶片表面的曲率分布情况较好。

图4 涡轮叶片型线曲率分布

2 涡轮的数值模拟

2.1 涡轮计算模型的建立

根据表1所示参数以及前文所述叶片型线，利用Solidworks软件对涡轮流道进行建模，并在ICEM-CFD软件中对其进行网格划分。

表1 叶片三维建模参数

为了减小流体在入口和出口边界与实际流动的差异，入口段和出口段均延伸2倍叶片高度[10-12]的距离，并采用结构性网格对这两段进行划分；考虑到涡轮定、转子结构的复杂性，采用适应性强的四面体网格对其进行划分，并对定、转子叶片边界创建三棱柱边界层网格，共计2 695 536个网格，模型如图5所示。

图5 涡轮流道网格划分

2.2 边界条件设置

涡轮工作时，认为流体是连续且不可以压缩[1]的，在求解过程中，用纯水代替钻井液，设置入口边界为速度入口velocity-inlet(根据15 L/s的流量换算得到v=5.305 m/s)，出口边界为压力出口条件pressure-outlet，定为一个标准大气压，采用k-ε湍流模型(湍流强度为3.77%，水力直径为20 mm)。转子所在流域设置为绕z轴顺时针旋转，其余流域均固定，流域之间的交界面设置为interface。壁面均为无滑移壁面条件，转子叶片壁面设置为moving wall，运动方式为相对于相邻单元区绕z轴转动，且相对速度为0。

2.3 数值模拟及试验验证

本文研究涡轮在400～3 600 r/min转速下的工作流场，得到相应的仿真预测值，对其进行拟合得到涡轮性能曲线。为验证仿真模型可行性，以清水代替实际钻井液进行10级涡轮台架试验。考虑实际涡轮存在的容积损失[13](取0.8)，试验流量为18.75 L/min。仿真数值与试验值对比如图6所示。

图6 涡轮特性曲线

由图6可知：

1) 仿真结果与试验值一致性好。由于实际试验存在的机械摩擦损失，试验转矩、功率、效率较仿真值低，压降则高于仿真值，误差都在可以接受的范围，可见此仿真模型用于涡轮性能的预测是可行的。

2) 工作液体密度和流量一定时，涡轮的转矩随转速呈线性趋势降低，效率随转速先增加后减小，呈抛物线型，在转速1 600 r/min左右达到最大值。

3) 涡轮工作在较低转速时，尽管转矩较大，但是水力效率较低；工作转速较高时，涡轮转矩和水力效率均较低。此涡轮工作在1 200～2 000 r/min范围内可以发挥良好的性能。

为研究涡轮内部流场状态，以涡轮平均直径(D=90 mm)截面为特征面，显示定子在不同转速下的压力、速度分布云图。以1 200、1 600、2 000、2 400 r/min为例进行分析，如图7～8所示。定、转子前缘受到流体冲击，产生高压现象；转子吸力面附近流速先增大后减小，在最大厚度附近达到最大值，压力变化与之相反；转子压力面附近流速变化较为平缓，压力先增大后减小，在尾缘处流速增加，出现低压区。

图7 不同转速下的涡轮压力分布

图8 不同转速下的涡轮速度分布

3 涡轮叶片型线优化

3.1 试验方案的设计

如图9所示，α,β,γ,μ的取值影响了叶盆叶背曲线的形状，从而对叶片的水力性能产生影响。考虑到这4个形状控制参数的组合数量庞大，本文采用正交试验[5]设计的方法对上文涡轮叶片的形状控制参数进行优选，实现对涡轮叶片型线的优化设计。以α,β,γ,μ作为正交试验的4个因素，分别用A、B、C、D表示，为保证涡轮形状控制在合理范围之内，取值范围均定义为0.1、0.2、0.3、0.4。

图9 叶片型线随设计参数值变化

根据涡轮的设计理论及实际工作情况，涡轮性能[14]由其输出转矩和能量转化效率衡量，因此以涡轮的输出转矩和效率作为正交试验指标。根据以上因素及其取值范围，参考正交表L16(45)，选取其中4列安排这4个因素。

3.2 试验方案的结果分析

取1 600 r/min为本试验转速，除型线控制参数变化外，其余条件均不变，分别计算每组方案下的涡轮转矩和效率大小，结果如表2所示。

由表3和图10可以看出，因素γ的极差值最大，为1.429 8 N·m。其次是因素μ的极差值，为1.083 2 N·m，而因素α、β对转矩影响相对较小，极差值仅为0.21 N·m左右。故通过各因素的极差大小，可以得到形状控制参数对转矩影响程度的大小排序，即γ>μ>β>α。

由表4和图11可以看出，因素μ的极差值最大，为0.083 2，因素β、γ的极差值相近，而因素α对转矩的影响相对较小，极差值仅为0.023 7。故通过各因素的极差大小，可以得到形状控制参数对效率影响程度的大小排序，即μ>γ>β>α。

表2 正交试验方案及结果

注：A—α，B—β，C—γ，D—μ。

表3 转矩的极差分析

在转矩达到要求的情况下，优化的目标是追求更高的水力效率。综合转矩和效率结果，α对转矩和效率的影响均不太明显，选择A3作为最终设计值；β的转矩和效率优水平均为B1，因此选择B1作为最终设计值；γ对转矩影响较大，随着γ的增加，转矩下降明显，考虑到效率，选择C3作为设计值；μ对转矩影响和效率影响均较大，选择D2作为设计值，同时具有较高的转矩和效率。最终确定各因素的优水平组合为A3B1C3D2，即α=0.3、β=0.1、γ=0.3、μ=0.2，对此组合进行计算分析得到输出转矩为6.858 N·m，此时效率为0.737 1，较初始叶片对于一级涡轮的输出转矩降低了0.476 N·m，效率提高了3.1%。

图10 因素水平与转矩的关系趋势

表4 效率的极差分析

图11 因素水平与效率的关系趋势

3.3 优化前后对比

1 600 r/min下转子叶片优化前后压力分布如图12～13所示。优化后吸力面和压力面压力曲线包络面积较优化前小，压力面和吸力面压差大，因此优化后的叶片输出转矩变小。但优化后的转子叶片顶部压力较优化前小，冲击损失小，且表面压力变化较优化前平缓，介质流过转子叶片后的压降小，水力损失小，水力效率高。

图12 1 600 r/min叶片压力对比云图

图13 1 600 r/min转子叶片优化前后压力分布曲线

4 结论

1) 基于三阶Bezier曲线对涡轮钻具的叶片型线表达式进行推导，建立参数化设计模型，确定影响涡轮叶片型线的4个形状参数。对ø127 mm涡轮的流道进行实体建型，应用Fluent软件对涡轮模型进行数值模拟，并通过试验对比验证了其可行性。确定涡轮工作转速在1 200～2 000 r/min，可以发挥良好的性能。

2) 以1 600 r/min转速下的涡轮转矩和效率这2个主要性能参数为优化指标，将叶片的4个形状控制参数作为试验因素，通过正交试验的方法确定最终优化组合α=0.3、β=0.1、γ=0.3、μ=0.2。此时，涡轮输出转矩为6.858 N·m，效率为0.737 1，较初始叶片对于一级涡轮的输出转矩降低了0.476 N·m，效率提高了3.1%。