考虑售票策略的高速铁路客流分配方法

赵 烁， 史 峰， 胡心磊， 徐光明， 单杏花

(1. 中南大学 交通运输工程学院， 湖南 长沙 410075； 2. 中国铁道科学研究院 电子计算技术研究所， 北京 100081)

铁路客流均衡分配是旅客运输优化组织的基础理论与方法，可用于旅客列车开行方案、列车运行图和售票组织策略的效益评价。早期的列车客流分配正是出现在列车开行方案优化研究中[1-8]，这些研究基于给定的列车开行方案构造旅客换乘网络，设计旅客的出行广义费用，包括票价支出、旅行时间和拥挤效应等，建立客流分配模型，将客流分配到列车运行区段上。为了在客流分配中引入列车运行时间信息，文献[9-11]对列车开行方案与运行图进行综合优化。作为子问题，客流分配方法主要源于道路交通和公共交通的交通分配，考虑了车上的拥挤程度，未考虑时变出行需求。文献[12]针对多类消费层次的出行旅客，建立体现服务水平差异性要求的客流分配模型，利用改进的蚁群算法和Frank-Wolfe构成的混合算法进行求解。

对于高速铁路，一般不超员售票或严格限制超员人数，列车上不会出现明显拥挤现象，这种列车上不拥挤的现象与既有客流分配问题的描述形成显著差异。铁路旅客出行并不是实时占用列车能力，而是在购票的一瞬间占用列车能力，高速铁路的客流分配过程实际上就是旅客的购票过程，旅客总是在当前剩余能力范围内，选择最小费用的出行方案。随着购票时间的推移，剩余能力不断下降。铁路企业采用若干售票策略，从满足旅客出行需求和提高列车客座率的目标出发，在不同售票期内，将合适的车票卖给那些合适的旅客。另外，在旅客实际购票过程中，不同需求的客流会具有不同的购票特征，比如，长途客流的购票时间往往比短途客流会更早一些，在配流过程中还需要将这些特征融合进去。

由于每天大量开行的高速铁路列车能够满足旅客出行需求，因此有必要进一步满足旅客的时变需求。在针对时变出行需求的城际铁路旅客乘车选择研究中，Douglas等[13]采用屋顶方法(Rooftops)，将计划到达时间划分成若干个连续时间段，计划到达时间处于同一时间段内的旅客选择同一趟列车到达。为了解决时变出行需求的高速铁路客流分配问题，Su等[14]以列车区段能力饱和为划分节点，将旅客购票过程划分为若干阶段，每一阶段中采用屋顶方法思想，将时变需求离散化并进行全有全无分配，直至全部出行需求分配完毕。在实际售票过程中，售票策略限制短途旅客购买长途列车的车票(能力富足的列车除外)，由于文献[14]没有考虑售票策略，势必导致短途旅客参与竞争长途列车席位，存在降低长途列车客座率的可能性。

本文将铁路售票策略嵌入到整个客流售票过程中，并根据不同OD客流的购票特征构造购票强度函数，将文献[14]的高速铁路客流分配方法扩展成为考虑售票策略的高速铁路客流分配方法，使得高速铁路客流分配方法与旅客购票过程更贴切，为列车运行图和售票策略提供评价手段。

1 考虑售票策略的高速铁路客流分配问题

最常用的售票策略包括票额计划、限以远站、票额共用、席位复用等。票额计划是列车运能在列车沿途主要区段的分配计划，即在列车的一些沿途区段分配一定额度的车票发售量。通常为了满足长途客流，要求票额计划吻合长途出行需求。当票额有一定的富余时，车票的终点站不一定为列车的终到站，但车票必须达到规定的里程，刚好达到规定里程的终点站称之为限以远站，车票的终到站必须是限以远站或更远的车站。随着票额富余程度的变化，限以远站也会相应地调整。当票额的富余程度很高时，车票的起点站和终点站都可以不受限制，只要位于票额区段范围内即可，这就是票额共用策略。若发售了票额子区段的车票，则应将剩余区段继续发售，这就是席位复用策略。

这些售票策略的合理运用，能够最大限度地满足旅客出行需求和提高列车客座率。在旅客购票过程中嵌入售票策略后，客流分配过程也相应地发生了变化：换乘网络结构需要表现票额计划和限以远站，能力约束需要细化到每一项票额计划，表现席位复用策略需要在客流分配过程中动态修正相关上车弧和通过弧的能力等。

其中，购票强度函数需要描述不同OD客流的购票特征。简便起见，通常假设计划出行时间与购票时间无关。

综上所述，考虑售票策略的高速铁路客流分配问题可叙述如下：在给定开行的全部高速铁路列车、旅客计划出行时间分布函数以及铁路企业售票策略条件下，根据不同OD客流的购票特征构造各OD购票强度函数。假设列车上不存在拥挤现象，旅客在购票瞬间占用全程的列车区段能力，任意购票时间的旅客总是基于当前剩余能力选择最小费用方案出行(旅客出行费用包括旅客提前或推迟上车的出行时间偏差、换乘时间、票价开支和旅途出行时间等)。在列车定员的严格能力约束下，求解列车上的客流分配方案。

本文的旅客出行方案，可以根据旅客起始站上车时间为分界点，分解为两个子方案。前者从计划出行时间至起始站上车时间，后者从起始站上车时间至终到时间。相应地，旅客最优出行方案包括最优起始站上车方案和最优换乘方案。通过设计基于售票策略的换乘网络，可以将最优换乘方案描述为最短路来求解，再借助于屋顶方法可求出最优起始站上车方案。

2 考虑售票策略的换乘网络

旅客出行过程包括上车、通过、换乘、候车和终到，结合票额计划、限以远站、票额共用和席位复用策略，设计考虑售票策略的换乘网络。下面，先设计考虑票额共用的换乘网络，再扩展为考虑一些典型票额计划的换乘网络。

2.1 考虑票额共用的网络结构

票额共用是指列车能力完全向各点对的旅客开放，旅客可以不受任何制约地购买列车席位的任意一段车票。这样的换乘网络具有最简单的结构。

根据高速铁路网络(V,E)和列车集Ω，构造旅客换乘网络(S,A)，S为时空节点集，A为时空弧集。时空节点集S包括全部列车T∈Ω在沿途各站的到达和出发时空节点，还包括每个车站s∈V作为旅客出行终点s和时间对应的虚拟时空节点s=(s,)，即

时空弧集A包括上车弧集、通过弧集、候车弧集、换乘弧集和终到弧集，具体定义如下：

所以，时空弧集A=Aboard∪Await∪Atran∪Apass∪Aend按照上述方法构造的换乘网络(S,A)示意图，见图1。图1中的考虑票额共用的1列列车的局部网络见图2。

综合网络结构和能力可以看出，列车能力可以为任何旅客提供服务，即换乘网络(S,A)体现了票额共用策略。

2.2 考虑票额共用的网络费用

旅客出行费用参数包括列车票价率和车站换乘费用，其中列车票价率为rp(T)，以政府公布的平均小时工资获取单位时间价值w。换乘费用是指旅客在车站内换乘的时间和风险费用，其中换乘风险是指能否顺利搭乘下趟列车所承担的风险，或者是指一次换乘给出行者带来的额外负担(在同城异站之间的换乘费用还包括市内换乘费用，根据市内最小换乘时间确定)。以车站v的规模确定车站换乘风险费用ρ(v)，车站v可分为4类，第一类为特大城市主要车站，第二类为省会级城市主要车站，第三类为地市级城市主要车站，第四类为剩余的其他车站。当车站类别编号从大至小时，车站到发列车数量逐渐增加，换乘风险费用ρ(v)越来越小。

定义弧集A中所有弧的费用如下

对于OD对(r,s)的旅客，如果相继换乘列车区段T1(i1,j1),T2(i2,j2),…,Tu(iu,ju)后到达终点，对应换乘网络(S,A)中路径的费用为

2.3 考虑典型票额计划的换乘网络

对于一些典型票额计划，与考虑票额共用的换乘网络构建方法相类似，也包括每一列列车的局部网络，再用候车弧、换乘弧和终到弧将它们连接起来。不同的票额计划的列车的局部网络具有一些差别。下面考虑两种典型票额计划介绍设计列车局部网络。

3 出行时间的最优划分

x∈[t1,t2]

( 1 )

除了xrs0=t1,xrsMr=t2已经确定以外，还需求解xrsm,1≤m≤Mr-2。由于xrsm是区间[xr,s,m-1,xrsm]和[xrsm,xr,s,m+1]的公共点，所以xrsm满足

由此可得

4 阶梯化时变需求强度函数

对于任何OD对(r,s)∈RS，若将时变需求强度函数frs(x)和grs(y)表示为阶梯函数，则可大幅减少客流分配的计算量。不仅是因为降低了积分的运算量，只要不同OD对的购票强度函数具备统一的阶梯分段间隔，在每一个阶梯分段内，都可以采用各OD对等比例分配的快速方法进行客流分配。只要阶梯函数的划分间隔充分小，阶梯函数与原函数的误差也会较小。

在讨论时变需求强度函数阶梯化转换之前，先给出购票强度函数的表示形式。由于行程越长的旅客越早购票，对于行程越长的出行需求，购票强度函数的高峰购票时段越靠前，所以购票强度函数须满足这个特点。

4.1 购票强度函数的构造

grs(y)=

( 2 )

和累积分布函数

Grs(y)=

( 3 )

参数λrs和krs的表达式如下

( 4 )

4.2 时变需求强度函数的阶梯化转换

对于关于计划出行时间的时变需求强度函数frs(x)，通常以整点时间作为划分节点，将计划出行时间[t1,t2]划分成若干阶梯时段，生成frs(x)的阶梯函数近似表示形式，关于计划出行时间的阶梯强度函数仍然记为frs(x)。最简单的获取方式就是从高速铁路全年旅客购票数据中统计出每个OD对(r,s)、每个阶梯时段的日均需求量，这样的统计结果既能消除了每天出行量的差异，也能消除不同时期运行图的差异。

( 5 )

5 考虑售票策略的客流分配方法

H=Aboard∪(∪{AT|T∈Ω})

( 6 )

式中：H包括了需要考虑能力限制的全部环节，环节e∈H的能力统一记为Ce。在第n阶段开始时，记Fe(n)为通过环节e的总流量，其初值Fe(1)=0，并记未饱和环节集为

H(n)={e∈H|Fe(n)

( 7 )

显然，H(1)=H。

( 8 )

( 9 )

(10)

令

(11)

(12)

若yn+1<0，则将阶段数n增加1，重复上述分配过程；否则(yn+1=0)，加载完毕。

如果在上述过程中嵌入席位复用售票策略和限以远站的调整，一般在某一购票时段开始时调整。

综上所述，考虑售票策略的客流分配方法算法框架叙述如下：

Step1根据列车时刻表构造考虑售票策略的换乘网络，对于任何e∈H，置Fe(1)=0。进入第n=1阶段。

Step5根据席位复用和限以远站等售票策略调整换乘网络。

Step6若yn+1<0，则将阶段数n增加1，转Step2。

Step7对于未分配的剩余客流，在票额共用策略下重复执行上述过程，不论是否还存在剩余客流，算法终止。

6 实例分析

6.1 实例参数与配流方案

(1) 实例参数

采用2015年12月1日京广深线路数据及列车时刻表进行验算，全线共计40个车站，39个区间。为突出票额计划及购票强度函数对配流结果的影响，将当日客流量放大1.15倍，作为日OD需求qrs,(r,s)∈RS，使之达到临界饱和状态，客流总量为234 537人；采用全年小时出行概率每日均值作为当天的小时出行概率分布函数frs(x)。车次以G，D字开头的列车票价率分别为0.45 元/km和0.4 元/km；出发时间调整费用为0.4 元/min；考虑全国人均收入水平，以30 元/小时为单位时间价值，即0.5 元/min；根据车站规模，全线车站可分为4个等级，各个等级车站的换乘风险费用分别按照每小时的时间价值的0.8、1.0、1.2、1.4倍计。

(2) 配流方案

便于分析票额分配计划和购票强度函数对配流结果的影响起见，设计4个配流方案，如表1所示。

表1 配流方案设计

注：表中的票额计划是针对北京西—深圳北的列车根据以往的售票数据制定的各点对票额计划。

6.2 评价指标

(1) 滞留人公里数DPT

在能力紧张时，配流结果会出现滞留客流，这样会造成列车运输的人公里数的流失。滞留人公里数是各OD滞留人数与其对应的最短路长度之积的总和，即

(13)

式中：DPrs为OD对(r,s)的滞留人数。这个指标明显优于滞留人数，因为最小化滞留人数可能导致长途滞留增加、短途滞留人数减少。

(2) 列车平均客座率ALF

列车平均客座率是指列车平均每一客座公里运输的人公里数。

(14)

式中：FT(i)为区段T(j-1,j)上实际分配的客流量；CT为列车T的能力。因配流后期可能出现客流路径折返导致的客座率虚高，所以不能视为比滞留人公里数更重要的指标。

(3) 旅客平均出行时间偏差ATD

该指标是旅客的实际出行时间与计划出行时间偏差的平均值，可以针对所有OD需求和给定OD需求分别进行统计。

全体旅客的平均出行时间偏差计算公式为

(15)

给定OD对(r,s)的平均出行时间偏差计算式为

(16)

式中：N为迭代总次数；prs为配流过程结束时OD对(r,s)所分配的比例。由于更多长途客流购票得到满足的条件下，会导致出行时间偏差提高，所以不能视为比滞留人公里数更重要的指标。

6.3 配流结果分析

模型算法采用C#编程，运行环境是CPU双核、主频为3.20 GHz、内存8 GB的计算机，方案1、2耗时约3 min，方案3、4耗时约10 min。由式(13)～式(15)计算总体评价指标：滞留人公里数DPT、列车平均客座率ALF、旅客平均出行时间偏差ATD(以上指标重要度依次递减)，分别对比4个方案的配流结果，具体计算结果如表2所示。

表2 各配流方案总体评价指标

从表中的结果看，方案2和方案4的滞留人公里数较少，旅客平均客座率较高，配流效果比较好。这两种方案对于不同OD对构造不同的购票强度函数，描述了长途旅客购票时间偏早的特征，与实际购票情况相符。由于算例构造了双向的换乘网络，在配流后期会造成旅客出行方案出现折返，因此方案2的客座率会稍高于方案4；但从滞留人公里数看，方案4制定的票额分配计划具有一定合理性，滞留的人公里数最少，配流效果最佳。

相比之下，方案1和方案3滞留人公里数较多，旅客平均客座率较低，配流效果相对较差。这是因为这两种方案假设所有OD客流具有相同的购票强度函数，与实际的购票情况不符，短途客流肢解了长途旅客列车的长途运能，导致滞留长途客流较多，列车运能并没有得到很好的利用。同时，方案3的票额计划使得部分中短途客流的出行方案受到了限制，滞留人公里数偏多，而且在配流后期部分客流的出行方案出现绕行，导致平均列车客座率出现虚高。

计算的全部旅客平均出行时间偏差在30 min左右，列车时刻表中的始发时间分布较好地吻合了旅客的时变需求。方案2～4优先长途客流购票，由于每个长途旅客的出行路径会占用多个短途旅客的出行路径，导致在最优出行偏差情况下出行的人数减少，平均出行时间偏差较方案1偏高。

表3列出了各方案配流结果滞留客流人数的OD里程分布。结果表明方案2和方案4滞留客流OD里程均在1 500 km以下，主要为中短途客流，且滞留人数较少；方案1和方案3的滞留客流较多，主要是中长途客流。由于方案2和方案4实现了长途旅客购票特征，保证长途客流的出行方案，同时使中短途客流搜索其他可行出行方案，充分利用了列车运能。

表3 滞留客流里程分布 人

此外，本文提出的客流分配算法还可以提取任意OD客流每次迭代的最优出行时段划分、对应的最优换乘方案以及上车人数。方案2中北京西至广州南在部分迭代过程中的出行指标如表4所示。表中结果表明，第1至4次迭代最优换乘方案相同，第5至10次迭代的最优换乘方案中G79次列车被G65次列车替代，这是由于G79次列车在前4次迭代过程中达到饱和，使得相应吸引时段的客流需要搜索新的出行方案，后续划分的出行时段也会发生变化。

表4 北京西到广州南的第1至10次迭代出行时段对应的最优换乘方案

7 结论

铁路售票策略和旅客购票时序是影响旅客购票过程的主要因素，在高速铁路客流分配过程中有必要将这两个因素融合进去。对于铁路售票策略，通常包括售票策略包括票额计划、限以远站、票额共用、席位复用等，可以通过设计相应的换乘网络将售票策略嵌入到客流分配过程中。对于旅客购票时序，通常具有“行程越长，高峰购票时段越早”的特点，只要在构造购票强度函数时体现这个特点，便可在客流分配过程中体现出来。

计划出行时间离散化和时变需求强度分布阶梯化可以大幅减少客流分配的计算量，特别是购票需求函数的阶梯化过程中要求所有阶梯函数具有统一的阶梯区间划分标准，在客流分配过程中，一次分配或者完成一个阶梯区间，或者饱和一个列车区段，大幅提高客流分配效率。高速铁路线路上的配流过程仅需要几分钟运算时间，具有解决大规模高速铁路网络客流分配能力。

客流分配依次选择滞留人公里数、列车平均客座率和旅客出行时间偏差作为总体评价指标。滞留人公里数不仅反映了列车运输的人公里数的流失，还反映了对列车运能供给的评价，这个指标明显优于滞留人数；列车平均客座率体现了列车运能整体利用情况，其重要程度在滞留人公里数之后；旅客出行时间偏差反映列车时刻表与旅客计划出行时间的偏离程度，其重要程度在滞留人公里数之后。

实例分析表明，虽然同时融合售票策略和不同购票强度函数的配流方案效果最佳，但要求票额分配计划接近最优运能配置方案，如果票额分配计划难于接近较优的运能配置方案，不建议采用票额分配计划。在能力相对充足时，仅采用不同购票强度函数，能够在客流分配中体现优先长途旅客出行的售票策略，具有较好的分配结果。

本文没有设计一般性售票策略的换乘网络，必要时还需要针对特殊需求的售票策略设计换乘网络。