从省略“个”，到“量”与“率”的重构

于飞 郑佳丽

【摘 要】在分析学生认知起点和人教版教材关于分数知识点编排后，可以尝试像教自然数那样，从表示“量”大小的角度教分数。具体可以从凸显分数产生过程、1份大小、数形结合三方面，从“问”到学生起点、“图”表分数大小、数形结合表示“量”三个策略来认识分数表示量的含义。实践表明，从“量”开始的认识分数教学，符合学生認知规律，学生更能接受和理解分数的意义，并取得较好的教学效果。

【关键词】分数意义；率；量；认识分数

数概念的教学中，在小学三年级之前只有像自然数1、2、3、4这些表示事物数量的叫“数”。慢慢地在分物的过程中，不能分得整数个时，就产生了“分数”。认识分数的起始课，对学生后续学习“分数的意义”，甚至三下的“小数的意义”和五下的“分数与除法”具有深远影响。认识分数有两条路径“率”和“量”，即表示一个数与另一个数之间率的关系，还是表示一个数量的大小。

对于“率”和“量”的探讨，笔者进行了多次教学实践，并对“量”“率”重构的分数教学进行了一些探索和思考。

一、展现认知起点，且看分数“率”中问题

（一）教师的教——数与形，忽略“个”

分数的概念具有双重性，既有“数的特征”，也有“形的特征”。借助直观和操作认识分数，将分数的“份数”定义和分数从自然数的拓展定义 “除法”定义有机结合，使学生更好地认识[1（ ）]。尝试从“数” 的意义认识分数，渗透分数是表示两个量之间的关系，即表示“率”。

【片段1】

如果村委主任只有1个月饼，平均分给四人怎么分？

（1）你能公平地分一分吗？把圆形纸片当作月饼，怎么分？

学生上台操作，把圆片平均分成4份。

（2）想一想：把1个月饼平均分成4份，用怎样的算式来表示这个分法呢？（ 板书：1÷4= ）

（3）再想一想：每人可以分到这个月饼的多少呢？

生：[14]个。 （板书：[14）]

分数指向于“率”时，对学生来说较抽象，不像学习自然数时有“量” 的支撑，学生在回答“可以分到这个月饼的多少”这个问题时，答案是“[14]个”，它是指向于“量”，而教师有意识地省略了“个”，这其实反映了学生对于分数的认知起点：分数是一个表示“量”，而不是两者之间“率”的关系。

（二）学生的学——操作与语言，不内化

每人可以得到[14]个月饼，量可以摸得着。而对于“一个月饼平均分成4份，其中的1份就是这个月饼的[14]”这样的分数意义的理解浮于文字表面，没有内化。在本节课后半段，学生仍然会出现“[18]个”这样的答案。由此可见，学生对于[14]和[14]个是不能正确区分的。

忽略单位“个”，不尊重学生认识一个数的逻辑规律和认知起点，致使学生被动地接受分数表示的是数与数之间的关系，即“率”。

二、追寻教材原因，探求先有“率”的逻辑问题

（一）忽略学生认知起点

同一分物过程，前三次的结果是表示“量”，学生很容易理解，而为了迎合书本“每块是它的（ ）分之一”，表示一个量与另一个量的关系，硬生生要求学生表达出：1个月饼平均分成4份，每一份是它的[14]。

从认识整数逻辑规律的“1个、2个、3个”跳跃到分数教学中的“[14]”，学生很诧异。生活经验告诉学生，分物的结果是得到一个具体的“量”，教师为什么要硬拉着学生去反复理解[12、14]呢？不尊重学生的认知起点，致使多数学生对分数的理解仍然是模糊的、拗口的、困难的。

（二）缺少“量”到“率” 的有效衔接

1.认识自然数，从“量”开始

人类认识自然数的顺序就有如下图所示（一年级上册第一单元“1～5的认识” 插图）。自然数1的认识：从实物中抽象出1，表示“1个”，数量的多少，一个具体的量，而不是“1倍”。认识自然数如此，分数也应符合认识一个数的规律。

2.分数认识单刀直入，有违认知规律

“平均分”和“它的”明确指出了分数概念的基本要素，强调只有平均分才能得到它的几分之一，重点体会分的是“谁”就是“谁” 的几分之一。

从“半块”到“一半”，教学中短短几秒钟的稍纵即逝，学生是无法感受这一过程和理解的。即教材单刀直入式的教学编排，不符合学生对于一个数的认知规律。

3.从分数到小数，自相矛盾

诚然，教材的安排有其自身的想法，可是教学三年级下册“小数的意义”时，前后矛盾了。在此之前，学生已经“被动”接受了分数表示的是“率”，分数是没有“单位”的。而认识小数时教材中突然出现了[310]“米”，在此之前教材中出现的所有分数都表示“率”。分数到底表示“率”还是“量”？

基于对学生认知起点和教材编排分析，笔者认为在认识分数的第一节课省略了单位“个”，是有违认识一个数的规律。正确的应该是先从“量” 的教学，再到“率” 的教学。

三、打破教材束缚，实践先有“量”的分数教学

认识分数凸显三点：①分数的产生过程，引导学生经历把1平均分成几份，其中的1份或者几份的过程；②1份的大小，而不是这1份与整个月饼的关系；③数形结合，借助形的直观来理解分数“量”的含义。

（一）从整数个到分数个，凸显分数产生过程

自然数“1”开始表示的是如1头大象、1个人，“1”表示的是事物的数量，后来在分物或者度量的过程中不能得到整数个时，就产生了分数。从分数的产生过程分析，分数首先是用来表示数量的。在笔者的实践教学中从分物导入，每人拿到4个、2个，数表达的都是“量”。因此把1个月饼平均分成4份时，得到的这个数表达的是“量”，所以紧接着提问：每人还可以得到多少“个”呢？

【片段2】“问”到学生起点

（分物导入，产生剩余）

（1）16个月饼，平均分给4人，每人分到（ ）个。

口答：4个。

（2） 8个月饼，平均分给4人，每人分到（ ）个。

口答：2个。

（3）5个月饼，平均分给4人，每人分到（ ）個，还剩（ ）个。

口答：每人1个，还剩1个没有分。

师：生活中分东西，有像前面两题正好分完，可有时还有剩余。今天我们就要把这个月饼继续分下去，每人还可以分到多少个呢？

这一提问顺应了分物的结果表示“量”，从整数个到分数个能较好过渡，分数的出现对学生而言充满着好奇，但不诧异。

（二）“量”“率”重构，凸显1份的大小

5个月饼平均分给4人，每人得到的就是“量”，得到用整数表示的“1个”和用分数表示的“[14]个”。因此在教学中，笔者有意识地把1个月饼贴在黑板上，再把剪下来的[14]个月饼涂色贴墙上，强调这一份表示的是大小，是能“摸”着、能体验到它的大小的。

【片段3】“图”表分数大小

（先强调平均分，学生把一张圆纸折成如右图）

师：把一个月饼平均分成4份，那其中的1份是多大呢？谁来指一指？（生指了其中1块）

师：这一块对吗？上面这1份可以吗？（4份中的任意1份都可以）

（教师把其中一块涂色。教师呈现下图）

师：谁知道这1份是多少个月饼，有多大？

生：[14]个。

师（板书分数）：这个数读作四分之一，今天我们就来认识一个新的数。（板书：分数的初步认识）

在分物过程中出现分数，很顺利地理解[14]表示事物的量。借助板书贴纸，凸显这一份[14]个是直观摸得着的大小。“量”“率”重构，在实践先有量的分数教学时，将板书科学利用能够更好地帮助学生认识分数。

（三）数形结合，理解分数表示“量”

1.由形到数，直观理解

借用图形，让学生体验和感受分数“量”的大小，使学生直观认识和理解分数的含义。

【片段4】

（课件出示题目和图）

把一个圆，平均分成2份，每份是（ ）个圆。

把一个圆，平均分成3份，每份是（ ）个圆。

（学生写分数，口答后，出示下一问题）

把一个图形，平均分成8份，每份是（ ）个图形。

生：[18]个。

[18]、[14]、[13]、[12]等分数借助形的特征，理解分数与以前认识自然数时一样都表示事物的大小，并且感知在同一个大小的圆里，不同分数表示不同的大小。

2.由数到形，理解[18]个的含义

图形不局限于圆，从圆扩展到任意图形，更可以揭示分数的本质，使学生“求同存异”理解分数。

【片段5】

把图形平均分成8份，每份是（ ）个图形。

生：[18]个。

师：想一想，这一份有多大呢？你能找找身边的图形，折一折找到[18]个吗？

（粘贴[18]个）

师（追问）：这三个图形，有什么共同的地方？同样是[18]个，为什么大小不同？

通过追问，触及分数本质：都表示把图形平均分成了8份，其中1份的大小就是[18]个；同样是[18]个，但大小不一，感知分数的大小是由事物原本大小决定的。

四、反思与总结

（一）像教学自然数那样认识分数

学习分数是学生在小学阶段学习数概念的第一次巨大拓展，教师要尊重学生认识一个数的逻辑规律，使学生体会到认识分数其实与人类最开始学习自然数是一样的，都表示事物的大小，只是这一份的大小小于完整的1个。

（二）带量教学与数形结合有效沟通

实践先有量的教学，需要有“形”的有效支撑。既然分数表示一个事物的大小，这大小必须使学生能感知体会到。课堂上通过学生的折一折、涂一涂等行为，借助形的直观性，凸显1份大小的教学，促进学生更好地理解分数表示“量”的含义。分数的认识和教学不是一蹴而就的，教师可以将形的特征与分数的抽象有机结合，展开有针对性的教学。

（三）当1份数量大于1个时教学“率”

认识分数从量开始，但不表示三年级只教学表示“量”的分数。从人教版三年级上册教材编排“分数的简单应用”这一内容开始，当事物平均分之后，每份的数量超过1个时，再去理解分数表示一个量与另一个量之间的关系较为合适，即部分与整体的关系，三年级不教学部分与部分的关系。

[14]是一个分数，更是一个“量”的数。“认识分数”是分数的起始课，教师要帮助学生完善分数“量”的概念，让学生从心底接受分数，也就是整体从“量”的角度去处理分数，而不是从“率”的角度去教学。当教师读懂了学生的认知起点，将起点与教材进行有效整合，让学生先从“量”慢慢地过渡到“率”。数学课堂只有更接地气，才会使教师的教和学生的学深度融合。

（浙江省海宁市南苑小学 314400）