促进数学理解的策略

翟运胜

【摘 要】数学的理解是根据学生的已有数学经验及认知结构，主动建构内部的心理表征，并进而获得心理意义的过程。能否用语言来描述数学内容，能否用画图来表达数学内容，能否实际运用是数学理解的标志。建立联系、借助形象、突出本质、加强对比、借助变式与反例等策略可以促进学生的数学理解。

【关键词】数学理解；行为表征；策略

一、数学理解与外部行为表征

从建构主义理论来看理解实质上是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有经验及认知结构，主动建构内部的心理表征，并进而获得心理意义的过程。也就是建立相应的认知结构。这种内隐的心理学上的变化，必然带来一些外显特征的变化，《义务教育数学课程标准（2011年版）》附录中这样来解释理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系，这个可以看作是理解外显上的变化。怎样具体判断学生理解了所学的知识呢？

（一）能否用语言表述是衡量学生是否理解的基本标志

1.能够讲清知识与生活经验之间的联系与区别。比如数学上的角，学生能够自己认识到角是一种从一点引出两条射线的平面图形，不是指桌角、墙角的角。

2.能够讲清新知识与旧知识之间的联系。把一些难以理解的知识放到情境中去理解，在实际背景中加深理解。比如小数乘小数，为什么以往是越乘越大，而现在则会出现越乘积越小的情况，把它们放到具体的情境中去帮助学生理解，打破学生的认识局限，帮助学生重组认识结构。在复习时，能画出概念间的关系网，能讲清楚知识的来龙去脉。学习五年级下册的“认识分数”单元复习，学生要能进行梳理总结，把分数的意义归纳成“份数的意义、除法的意义、比的意义”，形成知识结构图，从而融会贯通。

3.学会讲理，知道所学知识的本质是什么。数学是讲“理”的科学，哪怕是一年级的数学教学也不例外。通过讲理，学生能够理解所学知识的本质。通过各种看直尺、数轴图等方式，学生认识到小数其实质是一种分母为10、100、1000等的特殊分数。

4.用自己的语言表达对数学的思考。从不同的角度对所学知识作出解释，能根据概念举出恰当的例子。比如有的教师在教学时，引导学生以数学小论文的形式来表达自己对所学知识的理解。这种方式对于提高学生学习数学的热情，扩大信息量非常有效，因此促进数学类信息的阅读，有利于提高学生的数学理解能力。

（二）能否进行实际画图、操作是衡量学生是否理解的重要标志

学习了一个数比另一个数多（少）百分之几，在考试中要求学生画线段图表示“美术组人数比舞蹈组少20%”，学生需要判断把哪一种人数看作标准，平均分成多少份。

让学生根据线段图写出数量之间的相等关系，如果学生能够正确地画图并写出相关的相等关系，说明学生真正理解了“美术组人数比舞蹈组少20%”的真正含义，否则很可能停留在机械模仿的解题阶段。因为做到了直观上的理解才是真正的理解。

（三）能否具体运用是衡量学生是否理解的关键标志

在学习公倍数与公因数的时候，学生对于公倍数与公因数能否区别，关键看他们是否能够正确应用公倍数与公因数的知识解决一些实际问题。如能否解决下面的问题：把一张长20厘米、宽12厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，可以裁多少个？它是学生理解的标志。

二、促进数学理解的策略

（一）建立非人为和实质性的联系

认知结构是人们在对客观事物的感知和理解的基础上头脑里形成的一种心理结构，是个体认知活动的产物。教师要想让学生达到确切的理解，关键是要帮助学生准备好已有的认知结构，以便组织新概念。学生所学的新知识，与认知结构已有的适当知识本身就存在某种固有联系，这种联系就是“非人为和实质性的”，它们只是目前存在于不同的载体中，学生如果能把两者原有的“非人为和实质性联系”认识出来、建立起来，也就建立了非人为和实质性的联系。比如正方形是特殊长方形，它们之间的联系就是非人为和实质性的联系。建立了联系，也就形成了结构。组织认知结构有两种方式，一是同化，二是顺应。例如根据长方形的特征推理正方体的特征，这是一种同化，学生理解相对较简单。在教学认识分数的第二阶段，原先是把一个物体平均分成若干份，其中一份是几分之一，而现在是把一些物体看成一个整体平均分成若干份，其中一份中的个数是不固定的，这对于这个发展阶段的学生来讲是一种挑战，需要打破原有的认识结构，顺应知识的形成。数学教育心理学相关研究认为，在数学学习中大部分是顺应过程，这是数学难学的一个因素。

例如，教学平行四边形的面积计算以后，课件出示下面的图形：

师：平行四边形的底和高正好是它的一组相邻的底边时，就成了长方形或正方形。

师课件演示如下：

师：作为特殊的平行四边形，长方形与正方形的面积计算也可以用S=ah表示吗？

生：长方形的宽其实就是它的高，正方形的边长其实就是和底相等的高，也可以用S=ah来表示。

通过课件演示，分析异同，学生把长方形与正方形的面积计算也“归”到了平行四边形的面积计算中去，建立了本质联系，完善了知识结构，加深了对这一公式的理解。

同样，学生如果能把梯形与三角形的面积计算“归”在一起，则学生对于这两种图形的面积计算就又上升到了一个新的等级。

（二）借助形象，促进理解

数学家克莱因认为：数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正確的直观上；数学的直观是对概念、证明的本质把握。对于儿童来讲，能够做到直观上的理解，才是真正的理解。通过形象加深对于问题本质的观照，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观促进理解的重要环节。

【案例】教学公因数这节课，还可以这样引入，更能使学生理解因数以及公因数。过去在教学中，由一个自然数的乘法算式，把其中的一个数叫作积的因数，学生往往鹦鹉学舌，其实并没有真正理解因数。

教学公因数，教师可以通过直观图来加以深化。教师出示下面两根彩带。每2厘米一段，可以把18厘米与12厘米正好分完，没有剩余。2既是18的因数，又是12的因数，2是18与12的公因数。

同理，12厘米与18厘米还可以分成1厘米、3厘米、6厘米同样长的一段，其中最长6厘米，就是18与12的最大公因数。

（三）突出数学知识的本质

着眼知识的本质教学素材。在数学教学中，在开始阶段，要注意突出知识的本质属性，使本质属性先入为主，得以强化。例如在“认识周长”这节课中，教学中要直奔知识的本质，才有助于理解。可以在钉子板上用绳子围出长方形、正方形等图形，然后剪开测量，得出周长。这个活动有利于学生正确感知图形的周长，正确地理解周长。作为教师来讲，要尽可能地预先判知学生可能出现的错误，暴露出学生的潜在意识，从而更好地帮助学生理解数学知识。通过操作，突出数学知识的本质，促进学生的理解。

例如，教学三角形的特征，三角形具有稳定性，这里的稳定性实质是指当三角形的三边确定了，那么三角形的形状与大小就不会改变。而以往教学中，教师会让学生去拉木条做成的三角形与平行四边形，结果出现了把三角形与平行四边形都拉变形的情况，误导学生把三角形的稳定性等同于“稳固性”。一位教师在教学时是这样借助操作教学三角形的稳定性的。

师：三角形为什么不容易变形呢？你想知道这里面的奥秘吗？下面我们来拼一拼。老师为每个人准备了一个学具袋，大袋里装的是这样的四根小棒，小袋里装的是这样的三根小棒，请拿大袋的同学拼一个平行四边形，请拿小袋的同学拼一个三角形。（学生操作）

师：老师收集了一些作品，请大家观察这些同学摆的平行四边形和三角形，比一比，你有什么发现？

生：同样的四根小棒可以拼成多种平行四边形，而同样的三根小棒只能拼成一种三角形。

师：请大家看屏幕，同样的四根小棒可以拼成多种平行四边形，而同样的三根小棒只能拼成一种三角形，也就是说三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变，这就是三角形的稳定性。

（四）加强对比，促进理解

加强对比是沟通知识之间联系的重要策略，通过对比能更好地认识知识的内涵，分辨知识的外延，促进对于知识的理解。

例如，教学苏教版五年级上册“一一列举”的解决问题的策略，在练习时教师安排如下对比练习。

小强沿着方格纸的格线画长方形。（每个方格的边长都是1厘米）

（1）如果画出的长方形的周长是24厘米，有多少种不同的画法？

（2）如果画出的长方形的面积是24平方厘米，有多少种不同的画法？

在列举求这个问题的答案时，学生往往因为搞不清周长与面积而列举错误，教师可以有意识地通过此题进行对比，借助实际操作，理解列举之前应当考虑什么因素，使学生真正理解怎样列举，如何列举。

（五）借助变式与反例

所谓变式就是变更对象的非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。一句话，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化。 让学生在变式中思维，可以使学生了解哪些是事物的本质属性，哪些是事物的非本质属性，从而更好地掌握事物的本质规律。

通过非标准变式，突出概念的本质属性， 促进学生对数学概念的理解。例如学习二年级下册“角的认识”时，可以出示下面非标准变式图形。

学生对于数学概念、结论的认识有时要通过反例来促进理解，因为反例提供了最有利于辨别的信息，对概念认识的深化具有非常重要的作用。例如教学六年级上册“比的认识”时，在揭示了比的概念以后，观看足球赛视频片段，引导学生辨析比分3∶0。为什么这里比的后项可以为0，这个比与我们今天所学的比表示的意思一样吗？学生从而认识到足球、篮球等体育比赛中的比，不是表示相除关系的比。

数学理解是一个过程，数学理解是随着年龄增长而发展的，追求数学理解是一个过程，但是有些东西是需要学生达到一定年龄，心智成熟到一定水平才可能理解的，因此教学过程中有的时候学生一时不能理解，教师也不要因此而耿耿于怀，很多情况下数学的理解需要时间来鋪垫，需要岁月来沉积。

参考文献：

[1]涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2007.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

（江苏省苏州工业园区方洲小学 215028）