二次积分的一点注记

颉永建　韩国栋

摘要：将二重积分转化为二次积分，是计算二重积分的关键.本文从分析的角度出发，推导了直角坐标系下二重积分转化为二次积分的计算公式.

关键词：二重积分；二次积分；连续函数

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）32-0203-02

一、基本定义

二重积分计算是二元函数积分学的重要内容之一，也是教与学的重点.回顾二重积分的定义如下.

定义1[1] D？奂R 是有界闭区域，f：D→R 是有界函数.将Q任意分成n个小闭区域

Δσ ，Δσ ，…，Δσ ，

其中Δσ 既表示第i个小闭区域，也表示它的面积.在每个Δσ 上任取一点（ξ ，η ），作乘积

f（ξ ，η ）Δσ ，并作和

f（ξ ，η ）Δσ .

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f在闭区域D上的二重积分，记作 f（x，y）dσ，即

f（x，y）dσ= f（ξ ，η ）Δσ ，

其中f称为被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域，dσ称为面积元素， f（ξ ，η ）Δσ .称为积分和.

在直角坐标系中，面积元素dσ可记作dxdy，从而二重积分记作 f（x，y）dxdy.

二重积分计算的关键，在于将其转化为两次定积分——二次积分来计算.为了后续的叙述与证明更加简明，我们以下总假设被积函数f连续，而不追求定理成立最宽泛的条件.

二、主要定理及证明

在通常的高等数学教材中，二重积分转换为二次积分的过程是通过二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积——来完成的.具体可参考文献[1].以下，我们将从分析的角度出发，推导直角坐标系下二重积分转化为二次积分的计算公式.

以下两个定理是显然的.

引理1 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上的连续函数.则对任意的x ∈[a，b]，函数z=f（x ，y）在区间[c，d]上连续.

引理2 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，φ （x）≤y≤φ （x）}上的连续函数.则对任意的x ∈[a，b]，函数z=f（x ，y）在区间[φ （x ），φ （x ）]上连续.

我们先叙述并证明矩形区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上二重积分化二次积分的定理.

定理3 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上的连续函数，则二重积分

f（x，y）dxdy= f（x，y）dydx= f（x，y）dy.

证明：由z=f（x，y）在D上连续可知其在D上可积，从而二重积分的值与区域的划分方法及（ξ ，η ）的取法无关.我们用平行于坐标轴的两族直线将区域D平均划分成m×n个小矩形区域.显然，每个小矩形宽Δx = ，高Δy = ，直径就是对角线的长度，而所有直径中的最大者λ= ，其中1≤i≤n，1≤j≤m.不难看出，λ→0当且仅当（m，n）→（∞，∞）.在第i行，第j列的小矩形中，取（ξ ，η ）=（x ，y ）.于是，我们有

f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（ξ ，η ）Δy Δx

= f（ξ ，η ） .

因为f可积，所以上式最后一行的极限总是存在的，且与m，n趋于无穷的方式无关，再根据引理1，并注意到定积分的定义，我们进一步有

f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）

= f（ξ ，η ）

= f（x y）dyΔx

= f（x，y）dydx.

证毕.

进一步，我们有以下更一般的结论.

定理4 设z=f（x，y）是定义在区域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，φ （x）≤y≤φ （x）}上的连续函数，则二重积分

f（x，y）dxdy= f（x，y）dydx= dx f（x，y）dy.

证明：由z=f（x，y）在D上连续可知其在D上可积，从而二重积分的值与区域的划分方法及（ξ ，η ）的取法无关.我们用平行于坐标轴的两族直线x=x ，y=y 将区域D划分成有限个闭区域.这样，除了包含D的边界的有限个小闭区域外，其余均为小矩形区域.小矩形区域的宽Δx =x -x ，高Δy =y -y ，在第i行，第j列的小矩形中取（ξ ，η ）=（x ，y ）.記λ =max Δx ，λ =max Δy .易见，λ→0当且仅当（λ ，λ ）→（0，0）.于是，我们有

f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（x ，y ）Δy Δx

= f（x ，y ）Δy Δx .

因为f可积，所以上式最后一行的极限总是存在的，且与λ ，λ 趋于零的方式无关，再根据引理1，并注意到定积分的定义，我们进一步有

f（x，y）dxdy= f（x ，y ）Δy Δx

= f（x ，y ）Δy Δx

= ∫ f（x y）dyΔx

= f（x，y）dydx.

证毕.

当积分区域D是Y-型区域乃至一般区域时，我们仍然可用分割的方法处理[1]，[2].

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（下）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（下）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.