组合公式的偏导数证明

武国宁　孙娜　刘建军　陈小民

摘要：本文借助于多元函数求偏导数，从分析的角度给出了组合公式的一个证明。从分析的角度来证明组合问题是一个巧妙的想法，对一些问题的求解提供了一种新颖的思路。

关键词：组合公式；偏导数

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）27-0193-02

一、引言

在大学数学课程如概率论，微积分和线性代数等的讲授过程中，我们常遇到以下组合计数[1][2]：nn n-n n …n-n -…-n n 。这里nn 表示：从n个不同元素里取n 个元素不同组合的个数。该组合计数可以看作将带有标号的n个球分为k组，第一组有n 个球，第二组有n 个球，…第k组有n 个球不同分法的个数。例如含有k个变量n次多项式展开式为：

x +x +…+x = nn n-n n …n-n -…-n n x x …x （1）

又如，k个函数乘积的n阶导数求法为：

f f …f = nn n-n n …n-n -…-n n

f f …f （2）

我们都熟悉以下等式：

nn n-n n …n-n -…-n n = （3）

这个等式是如何计算出来的？

常规的证明方法为排列计数法[1]。简述如下：

我们将带有标号的n个球分为k组，第一组有n 个球，第二组有n 个球，…第k组有n 个球。假设分法有x种。即设x=nn n-n n …n-n -…-n n ，对于一个给定的分组，如果考虑标号，不同的标号如果认为不同的排列，那么对于给定的一个分组，由于不同标号的排列总共有n ！n ！…n ！个新排列。而带有标号的n个球的全排列为n！。这样我们有：

xn ！n ！…n ！=n！ （4）

所以有（3）式成立。

本文我们借助偏导数的方法来证明公式（3）。

二、证明

对公式（1）的两边求n阶混合偏导数，有

x +x +…+x

= nn n-n n …n-n -…-n n x x …x （5）

其中m ≥0，i=1，2，…k且m +m +…+m =n。

等式左边为，

x +x +…+x =n！ （6）

等式的右边，除了m =n ，i=1，2，…k的那一项外，其他项的偏导数为零。所以有：

nn n-n n …n-n -…-n n x x …x

= nm n-m m …n-m -…-m m

x x …x

=nm n-m m …n-m -…-m m m ！m ！…m ！（7）

由公式（6），（7），所以有：

nm n-m m …n-m -…-m m =

證毕。

特别地，若k=2，则：

x +x = nlx x （5）

n！=nmm！n-m！ （6）

所以有：

nm= （7）

三、结论

组合公式nm n-m m …n-m -…-m m = 是我们熟悉的一个公式，常规的思路为借助于排列计数的方法来证明。本文我们借助于求偏导数来证明该公式，这是一种用分析方法证明组合公式的尝试。该方法较为新颖，为我们解决组合问题提供了一种新的思路。

四、致谢

感谢中国石油大学北京教改项目支持。

参考文献：

[1]钟开莱.初等概率论附随机过程[M].北京：人民教育出版社，1979.

[2]茆诗松.概率论基础[M].北京：高等教育出版社，1997.