闭环系统稳定性的多角度分析

邢书剑　诸葛晶昌

摘要：闭环系统稳定性判断是《自动控制原理》课程中的重要教学内容之一，为了学生能够灵活掌握线性系统的时域分析、根轨迹分析和频域分析三部分，本文从劳斯表、根轨迹、奈奎斯特轨迹和伯德图四种角度对闭环系统稳定、临界稳定和不稳定三种状态的判断进行了分析，使学生能够更好掌握系统稳定性判定的问题，为后续的自动控制系统校正打下良好的基础。

关键词：闭环系统稳定性；时域分析；根轨迹；频域分析

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）29-0092-03

一、引言

《自动控制原理》是高等学校工科类专业的重要课程，是一门理论性较强的基础科学。通过本课程的学习可以使学生掌握建立控制系统数学模型的一般方法，掌握控制系统分析和综合的方法，为今后学习现代控制理论、航空发动机控制、飞机计算机控制等课程提供相关的理论基础。其中，闭环系统的稳定性分析是《自动控制原理》课程中非常重要的教学内容之一，很多章节都是围绕稳定性判断和分析展开的。然而，各个章节都是介绍本章知识点，学生在学习之后往往很难前后串联，为了使学生更好的理解和掌握闭环系统稳定性分析的内容，能够全方位的灵活应用所学知识，本文将从时域分析、根轨迹分析及频域分析三个方面对系统稳定性问题进行深入分析。

二、系统稳定性

系统稳定性：如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统具有稳定性，否则称系统是不稳定的，因此系统状态可分为稳定状态、临界稳定状态和不稳定状态三种形式[1-2]。

线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都位于S平面的左半平面。因此，在判断一个闭环系统是否稳定时，需要确认它的闭环极点是否都位于S平面的左半平面。

通常，单位负反馈系统的开环传递函数可表示为

式中，K为比例系数；m和n分别为自然数且m≤n；γ表示系统为γ型系统；τ 和T 为时间常数。

即系统的闭环特征方程。

由式（3）可知，闭环特征方程的阶数取决于n，而通过人工计算求解高阶方程（n>2）是非常困难的，因此判断高阶系统稳定性通常会采用其他手段进行，常用的方法为劳斯稳定判据、根轨迹分析法、奈奎斯特稳定判据及伯德图判据几种方法。

三、劳斯稳定判据

劳斯稳定判据可以通过对特征方程系数的适当代数运算得到S平面右半部及虚轴上是否存在闭环极点。为了便于理解，本文在各种方法的讨论中假设系统的开环传递函数皆为

由劳斯稳定判据可知，当060时，系统不稳定。

四、根轨迹分析法

根轨迹是指当K从0到∞连续变化时，闭环极点在S平面上对应的连续变化轨迹[3]。式（4）对应的根轨迹方程为

=- （6）

根轨迹如图1所示。可见，当060时，系统有一对共轭闭环极点位于S平面的右侧，系统不稳定。

五、奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据是根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭环系统稳定性的常用方法之一[4]，本质上属于图解分析方法，且开环频率响应很容易计算。若闭环系统的开环传递函数为式（4），则开环频率响应为

其幅频特性和相频特性分别为

当K分别为10，60，80时的奈奎斯特轨迹如图6所示，可见，当K=10<60时，奈奎斯特轨迹不包含（-1，j0）点，且系统的开环极点全部在S平面左侧，则系统没有在S平面右侧的闭环极点，系统闭环稳定；当K=60时，奈奎斯特轨迹经过（-1，j0）點两次，说明系统有两个在S平面虚轴上的闭环极点，系统临界稳定；当K=80>60时，奈奎斯特轨迹顺时针包含（-1，j0）点两次，则系统有两个在S平面右侧的闭环极点，系统不稳定。

六、伯德图判定

伯德曲线是频率特性的另一描述形式[5]，其对数幅频特性和相频特性分别表示为

L（ω）=20lgA（ω）=20lg -20lg -20lg -20lg （10）

φ（ω）=-arctanω-arctan -arctan （11）

当K=10，60，80时的伯德曲线分别如图3所示，对应的截止频率分别为ωc1、ωc2、ωc3。可见，K取值不同时的相频曲线保持不变，而由于K不同将导致在低频端时的初始对数幅频值不同，影响到每种情况下的截止频率ωc不同，从而使得在0<ω<ωc这一段利用相频特性曲线判断稳定性的结果不同。图3中，K=10时，相频特性曲线没有穿越-180°线，所以正穿越次数N+和负穿越次数N-都为0，且开环不稳定极点数P为0，此时2（N+-N-）=0=P，则系统闭环稳定；K=60时，交界频率ωg=ωc，则系统临界稳定；K=80时，正穿越次数N+为0，负穿越次数N-为1，则2（N+-N-）=-2≠P，则系统不稳定。

七、结语

闭环系统是否稳定是系统正常工作的前提，本文分别通过劳斯表、根轨迹、奈奎斯特轨迹和伯德图四个方面对系统的稳定、临界稳定和不稳定三种工作状态进行分析。通过多角度分析使学生更加清晰《自动控制原理》中时域分析、根轨迹分析和频域分析三个章节之间的内在联系，掌握知识更加立体，为后续的自动控制系统校正打下基础。

参考文献：

[1]任彦硕.自动控制原理[M].北京：机械工业出版社，2006.

[2]唐超颖.浅谈“欠阻尼二阶系统阶跃响应”的教学方法[J]. 教育教学论坛，2017，（27）：163-164.

[3]季画，李素玲，邢雪宁.自动控制原理根轨迹分析法教学中的新思考[J].教育教学论坛，2013，（52）：116-117.

[4]常俊林，陈颖.“自动控制原理”中频域分析部分的教学探讨[J].教育教学论坛，2016，（52）：228-229.

[5]陈凤祥.自动控制原理之相对稳定性概念的教学[J].教育教学论坛，2017，（3）：207-209.