一道高考不等式证明题的几种解法

庞廷军

在近几年全国卷二高考试题中，选修4-5不等式选讲题型多为不等式的证明，常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.综合法一般是大多数不等式证明题较常用的方法，主要依据是所学的公理、定理以及已知的定义、知识之间的联系与应用性比较强，比较法常用的是作差或作商，通过作差或作商来比较大小；分析法、反证法、放缩法并不是所有的习题都能用，要根据实际题型采用不同的方法，在高考试题中这三种方法一般不多见；多数学生采用的是比较法和综合法，当这些证明方法不能解决的时候，用函数思想的方法来解答也是比较有效的.下面以近几年的高考试题为例来讲解说明.

例1（2017年全国卷二第23题文理同）已知a>0，b>0，a3+b3=2.

證明（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2.

（1）解法一综合法证明：

（1）（a+b）（a5+b5）

=a6+ab5+a5b+b6

=（a3+b3）2-2a3b3+ab（a4+b4）

=4+ab（a2-b2）2

≥4.

解法二比较法证明：

（a+b）（a5+b5）-4

=（a+b）（a5+b5）-（a3+b3）2

=a6+ab5+ba5+b6-a6-2a3b3-b6

=ab5+ba5-2a3b3

=ab（a2-b2）2

≥0，

所以（a+b）（a5+b5）≥4.

解法三柯西不等式性质证明：

（a+b）（a5+b5）

≥（a·a5+b·b5）2

=（a3+b3）2

=4，

所以（a+b）（a5+b5）≥4.

（2）解法一均值法证明：

因为a>0，b>0，a3+b3=2，

所以（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab（a+b）

≤2+3（a+b）24·（a+b）

=2+3（a+b）34，

当且仅当a=b=1时“=”成立；

即（a+b）3≤8，所以a+b≤2.

解法二比较法证明：

由解法一启示得，只要证明（a+b）3-8<0即可，

因a>0，b>0，a3+b3=2，

又（a+b）3-8=a3+3a2b+3ab2+b3-8

=3（a2b+ab2-2）

=3（a2b+ab2-a3-b3）

=-3（a+b）（a-b）2

<0，

即（a+b）3-8<0，（a+b）3<8，

所以a+b≤2.

解法三反正法证明：

假设（a+b）>2，

即（a+b）3>23成立，

又a>0，b>0，a3+b3=2，

化简得a2b+ab2>2，

即a2b+ab2-2>0成立，

即a2b+ab2-a3-b3>0成立，

这与a2b+ab2-a3-b3=-（a-b）2（a+b）<0矛盾，

所以假设（a+b）>2不成立，

即证得a+b≤2.

解法四函数法证明：

由a3+b3=2，得b3=2-a，

即b=（2-a3）13，所以a+b=a+（2-a3）13；

设函数f（x）=x+（2-x3）13（x>0），

求导得f′（x）=1+13（2-x3）-23（-3x2）=1-132x3-12=0，解得x=1.

当00，f（x）在（0，1）上单调递增；

当x>1时，f′（x）<0，f（x）在（1，+∞）上单调递减；

所以f（x）在x=1处取极大值且f（1）=2，

即f（x）≤2，所以a+b≤2.

解题方法的多样性，会激发学生的学习兴趣，开阔学生的视野，也可以帮助学生掌握更多的解题方法，通过多题一解或一题多解，去应对高考试题的多样性.