关于直线y=±x+m（m≠0）对称点的坐标的一种简单求法

张洪笙

在许多题目中，常见求一点关于某直线对称的点的坐标问题，如，求点A（-2，1）关于直线y=±x+2对称的点A′的坐标.

解此类问题，通常的方法是：

设点A′的坐标为（x0，y0），由于点A，A′关于直线l对称，则有：

（1）AA′⊥l；

（2）AA′中点在直线l上.

由这两个条件列方程组求得（x0，y0），即可得点A′的坐标.

由于直线l：y=-x+2的方程形式，是形如y=±x+m（m≠0）的形式，为此，介绍一种简单求法.

已知一点M（a，b），此点关于直线y=±x+m（m≠0）对称的点N的坐标可由直线方程和已知点M的坐标直接得出.

不妨取直线方程y=±x+m（m≠0）.设N点的坐标为（p，q），若求N点的横坐标，将直线方程化为x=y-m，用M点的纵坐标b代替y即得N点的横坐标，即p=b-m.同理，将M点的横坐标a代入方程y=x+m，得N点的纵坐标，即q=a+m，于是N点的坐标为（b-m，a+m）.

下面来证明这个结论.

分析我们知道，一点（a，b）关于直线y=±x对称的点坐标为（±b，±a），由于直线y=±x+m其沿着y轴方向向上或向下平移|m|个单位，使得到直线y=±x，所以类似地可求出点M（a，b）关于直线y=x+m（m≠0）的对称点的坐标.

证明如图所示，直线y=x+m（m≠0），方程变形为y-m=x，令y=-y′，x=x′，则将坐标原点移到O′（0，m），直线y=x+m在新坐标系中的方程为y′=x′，则点M（a，b）在新坐标系中的坐标为M′（a，b-m），那么点M′（a，b-m）关于直线y′=x′对称的点N的坐标为（b-m，a），则点N在原坐标系下的坐标N（b-m，a+m），即点M（a，b）关于直线y=x+m（m≠0）对称的点N的坐标为（b-m，a+m）.

同样，可求出点M（a，b）关于直线y=-x+m（m≠0）的对称点的坐标为（-b+m，-a+m），证毕.

用此方法，直接可求出前面例子中的点的坐标：x0=2-1=1，y0=2-（-2）=4，即A′（1，4）.方法十分簡捷.

若直线方程式为Ax+By+C=0（AB≠0），当|A|=|B|时，方程可化为y=±x-CB，再由上述方法求出一点关于直线对称的点的坐标，下面看两个例子.

例1求点P（-2，3）关于直线x-y+4=0对称的点Q的坐标.

解设Q点的坐标为（x0，y0），则x0=3-4=-1，y0=-2+4=2，即Q（-1，2）.

例2求点A（4，-3）关于直线2x+2y-5=0对称的点B的坐标.

解设B点坐标为（m，n），方程2x+2y-5=0化为y=-x+52，则可得m=52-（-3）=112，n=-4+52=-32，即B112，32.

可见，用这种方法求形如直线y=±x+m（m≠0）的对称点的坐标问题十分简捷.