谈高等数学中的唯物辩证法

【摘要】高等数学中许多内容充分体现了科学的辩证法，许多重要的数学概念都体现了矛盾的对立统一.本文结合实例阐述高等数学中处处充满了唯物辩证法，使学生在掌握和学习高等数学知识的同时，接受辩证唯物主义思想的教育和启迪.

【关键词】高等数学；唯物辩证法

数学作为一门自然科学，处处蕴含着对立统一的辩证唯物主义观点与辩证的思想方法.例如，常量与变量，有限与无限，连续与间断，无穷大与无穷小，直与曲，均匀与非均匀，微分与积分，等等，几乎无处不有，可以说，对立统一思想贯穿了数学知识的始終，从极限、导数到积分都体现出哲学的辩证统一观点.哲学是一门寻根问底、探索根本原因的学科，数学亦寻求最本质的东西，所以它们有其内在的联系.高等数学不仅是一门严格的理论，更是一种有用的工具，在其他各学科中融入着数学，如，物理学中的速度、加速度、电流强度等；化学中的反应速度；生物学中的细菌增长速率；经济学中的边际成本、边际收益等；管理学中的最佳经济库存量，等等，都是通过导数来完成的.同时，数学也离不开其他学科，像一些著名的哲学家笛卡儿、罗素、毕达哥拉斯等同时又是数学家，他们的哲学思想，常常借助着数学.在数学教学过程中，结合课程内容，适时适宜的、有的放矢阐述和灌输唯物辩证法基本原理、基本观念，是必要可行的.一堂好的数学课，给学生在科学辩证法方面的收获和启迪，有时不亚于一堂好的哲学课.学好数学对帮助学生深刻领会哲学的辩证规律，掌握辩证唯物主义思想极为有益.

一、关于常量与变量

常量与变量是数学中两个重要的基本概念，常量是事物相对静止状态在数量方面的反映，变量是事物的运动变化状态在量的侧面的反映.变量概念的引进，不仅适应了十六、十七世纪在航海、计时、天文观测、计算行星运行轨迹、建筑等方面的实际需要，而且也推动了数学本身的发展.纵观数学的发展史，微积分本来是作为一种计算工具而产生的.十七世纪的欧洲，社会化机器大生产已形成气候，航海的需要、矿山的开发、火药枪炮的制作，提出了一系列的力学和数学的问题，正是这种现实的需要驱使牛顿、莱布尼兹等人去寻找解决办法，也正是这种实际的需要使得微积分诞生了.由于微积分的建立，使数学从内容到方法，从理论到应用都得到不断的充实和演化，使数学从常量数学进入到变量数学.

对立统一规律是宇宙的根本规律.常量与变量这一对矛盾同样是客观事物本身所固有的既对立又统一的本性在数学中的正确反映，它们既互相分离、互相对立、互相否定，又在一定条件下互相依存、互相渗透、互相贯通.下面从几个方面通过具体实例阐述常量与变量之间的对立统一关系.

（一）常量与变量的相对性

常量在一定条件下具有任意性.常见的一些公式，如，

a2-b2=（a+b）（a-b），

（a+b）2=a2+2ab+b2，

其中a，b均为常数，但它们又具有任意性，所以公式可以广泛应用.又如，在不定积分中

∫x2dx=13x3+c，

c是任意常数.

另一方面，变量在一定条件下具有不变性.例如，求二元函数z=x3+y3+xy2+exy的偏导数时，把其中一个量视为常量，而把另一个量视为变量，得到

zx=3x2+y2+exy（x为变量，y视为常量），

zy=3y2+2xy+ex（y为变量，x视为常量）.

（二）通过常量来刻画变量

例如，两个变量的二次多项式

f（x，y）=ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f

经过直角坐标系中的平移或旋转变换

x=x′+a，y=y′+b 或x=x′cosα-y′sinα，y=x′sinα-y′cosα.

经整理可得x′，y′的二次多项式

F（x′，y′）=a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+2d′x′+2e′y′+f′，

其中a，b，c，d，e，f与a′，b′，c′，d′，e′，f′诸系数经过变换可能有变化，但可以通过计算证明

Ι1=a+c=a′+c′=Ι1′，

Ι2=abbc=a′b′b′c′=Ι2′，

Ι3=abdbcedef=a′b′d′b′c′e′d′e′f′=Ι3′

是不变量，称为多项式在正交变换下的基本不变量.

（三）通过变量去研究常量

例如，求极值问题.要做一个体积是常量V的有盖圆柱形铁桶，问其底半径r为多大时，铁桶的表面积S最小，即所用材料最省？并求出此最小表面积S.

设铁桶的高为h，由V=πr2hh=Vπr2，

铁桶表面积S为

S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr，

S′=4πr-2Vr2.

令S′=0得唯一驻点r=3V2π.

由此可知，当r=3V2π时，铁桶的表面积S最小，所用材料最省，其最小表面积为

Smin=332πV2.

这样，通过半径r（变量）来研究表面积S的最小值.

二、关于定积分的概念

定积分概念的建立是唯物辩证法实践第一的观点与否定之否定规律在数学中的一个例证.定积分概念的引入，都要以曲边梯形面积的计算为引例，解决这个引例的思想方法是运用哲学上的辩证方法和数学方法论的原理.这种方法解决问题的关键是“以直代曲”的辩证法则，即通过无限细分区间，以许多小直边梯形（小矩形），代替相应的小曲边梯形，将原来无法计算的不规则面积，转化为无数个规则的小矩形面积之和，通过极限手段获得了任意的不规则面积的真值.解决问题的全过程，从头到尾充满了活生生的科学辩证法，最终将“直”与“曲”这一互为对立的概念，通过灵活运用数学方法论，使之达到完美的辩证统一，十分巧妙地解决了原来不可思议的计算.另外在分割区间的做法上，开始是取n个分点的“有限”分割，而一经使用极限方法，就使之转为每个子区间趋于零的无限分割，正因为从“有限”转到“无限”就出现了由量变转为质变，所计算的面积就由近似值转为它的精确值，充分体现了哲学上的“量变到质变”的辩证法思想.学生明确了这一点，就更深刻地理解了定积分概念的本质属性，为什么是一个特定和式的极限，同时也加深了对“量变到质变”的唯物辩证法规律的理解.

一般地，函数y=f（x）是定义在[a，b]上的函数，取以下四个步骤：

1.分割：对区间[a，b]任意插入n-1个分点，把[a，b]分成n个小区间，记为Δx1，Δx2，…，Δxi，…，Δxn.

2.代替：在每个小区间上任取一点ξ1，ξ2，…，ξi，…，ξn，得每个点的函数值f（ξi）与相应小区间长度Δxi的乘积f（ξi）Δxi（i=1，2，3，…，n）.

3.求和：把这n个乘积相加得

f（ξ1）Δx1+f（ξ2）Δx2+…+f（ξn）Δxn

=∑ni=1f（ξi）Δxi.

4.取极限：当分点无限增大而Δx充分小时，上面和式的极限是一个确定的值，此极限值既不依赖于分割，也不依赖于介点ξi的选择，这个极限值称为函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记为∫baf（x）dx，即

limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi=∫baf（x）dx，

其中λ=max{Δxi}.

这里dx是n→∞时小区间的长度，它是一个无穷小量，称为x的微分，乘积f（x）dx也是无穷小量，它是x的另一函数u=F（x）的微分，记

du=F′（x）dx=f（x）dx.

这里∫baf（x）dx所谓总和已不是有限个常量的和，而是在给定范围[a，b]内无限多个无穷小量的总和，所以恩格斯把积分运算称为求无穷小总和的运算.

以上四步算法，经过两次否定和肯定，即经过了否定之否定这一辩证过程.

由此可知，计算平面图形的面积，最后归结为计算这样一个具有特定结构和式的极限 limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi.人们在实践中逐步认识到，这种特定结构和式的极限，不仅是计算图形面积的数学模型，而且是计算许多实际问题（如变力所做的功、水的压力、立体的体积等）的数学形式.因此，无论在理论上或在实践中，特定结构和式的极限 limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi——定积分∫baf（x）dx具有普遍意义.在教学中，使学生明白以下几点：① 和的极限；② 变与不变的辩证关系；③ 连续通过分割离散化，为定积分应用做必要的准备；④ 离散通过取极限成为连续.这样，从具体例子引入概念，抓住其本质属性，做出辯证的分析，然后为概念的应用打下基础，使学生的逻辑思维能力得到提高.

总之，高等数学的课堂教学，随时随处可渗透科学辩证法的思想教育，用辩证唯物主义的观点去分析教材，揭示教材各部分内容知识之间的内在规律，使学生在理解掌握数学知识的同时，接受唯物辩证法的教育和启迪.做好这种教学教育，不仅对学生学好高等数学有很大帮助，而且对学习者牢固树立起辩证唯物主义世界观，乃至共产主义人生观都起到有力的促进作用.

【参考文献】

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