数项级数概念教学中学生数学思维能力的培养探究

王雪琴，成荣强

(渭南师范学院 a.数理学院;b.马克思主义学院，陕西 渭南 714099)

数学思维蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学学习的重要目标。[1]数学思维是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学，是循序渐进帮助学生熟悉数学概念,培养数学发散思维、逻辑思维、逆向思维等能力，提升解决问题的能力。数学思维是与课程内容息息相关并深深扎根于课程之中，教学中利用各种途径挖掘知识体系中的数学思维也是教学的一个重要目标。对大学数学专业的学生而言，数学思维能力不仅影响当前学习数学知识的学习效率，而且影响长远对数学的发明和创造。数项级数概念的教学能培养学生的数学思维，数项级数是微积分学中最重要的概念之一，是研究无限个数的求和问题，与有限求和相比，无限求和不论在形式上、本质上，还是在思维的多向性上都有一定的难度。第一个问题是什么是数项级数？即什么是无限个数的和?第二个问题是无限个数的和在什么条件下存在？第三个问题是如果无限个数的和存在，那么如何求和？一元函数微积分学主要研究的对象是初等函数，虽然初等函数能够描述许多自然现象和工程技术中的问题，但是，初等函数还远远不能满足研究数学和许多实际问题，数学家就借助函数项级数引入了非初等函数，而数项级数又是函数项级数产生的基础，因此深刻理解和掌握数项级数就非常重要。

华东师范大学数学系编写的《数学分析》[2]仅从简单的知识体系出发研究数项级数，即直接给出数项级数相关的概念和判别方法。虽然简洁，但也存在如下不足：学生难以很快完成从有限项相加到无限项相加的过渡；学生对无限和的存在性问题认识不深刻；学生要实现从有限和到无限和的转化需要有一个数学思维转变的过程。文中给出的数项级数的基本构成就比较单薄，没有留给学生充分发挥想象的空间，让学生对学习数项级数没有强烈的求知欲望，缺乏学习的兴趣与热情。因此，为了让学生对数项级数的内涵有充分的认识和理解，提高学生的学习积极性，拓展数项级数的研究领域，丰富数项级数的知识内涵，本文从以下六个方面谈一谈如何在数项级数概念的教学中培养学生数学思维能力，进而提高数学分析课堂的教学效果与质量，营造兴趣盎然、思维活跃、视域宽广的数学分析课堂教学氛围，为构建多维高效的数学分析课堂教学质量体系打好基础。

一、数项级数是历史发展的必然

二、数项级数是有限求和的推广

三、数项级数是数列极限的延伸

在教学实践中，只要坚持从实际出发，经常采用这种联想思维来引导学生探究新知识，学生就能在原有的认知结构体系中，逐步探索并学会掌握定义新的知识体系的思维方式，从而建立牢固的知识体系，把课堂上的被动接受学习变为主动探索学习，不仅活跃了课堂学习气氛，而且提高了学习效率。

四、数项级数是广义积分知识的储备

命题1[6]设函数f(x)在区间[a,+)的任一闭区间上可积，则广义积分收敛的充要条件是：对于发散于正无穷大的每个数列{An}⊂[a,+)，数项级数收敛，其中A0=a。

命题2[2]设函数f(x)是区间[1,+)的任一闭区间上可积且非负递减函数，则正项级数与非正常积分同时敛散。

在教学实践中，教师要经常对学生进行知识延伸、类比推理，这样不仅能培养学生的发散思维，而且能逐渐形成学生的创造思维，同时还可以使知识由此及彼进行传导，达到训练学生思维的变通性，使学生思维更加灵活，运用知识更加自如。把所有相似的知识点连接起来，形成一个知识链，使学生能够系统地掌握知识和巩固知识。

五、数项级数是数值计算的基础

牛顿在1666年得到了用函数项级数来表示反正弦函数和反正切函数：

所谓离散资源分配问题就是：属于某社会团体的成员被划分成若干部门，而团体所拥有的某种一定量的资源被称为是离散资源，是指分给每个部门的资源量必须是非负整数，要解决的问题是团体如何将这些离散资源公平地全部分给下属部门.

莱布尼茨在1673年左右得到了用函数项级数来表示正弦函数和余弦函数：

历史上，有许多用数项级数来表示圆周率π的公式：如莱布尼茨和欧拉分别得到：

随着社会经济的发展，为了适应航海、天文学和地理学发展的需求，需要求出三角函数和对数函数等函数的精确值，这就必须利用数项级数。我们知道实数是由有理数与无理数组成的，而有理数可以用分数表示，也可以用有限十进制小数或无限十进循环小数来表示，任何一个无限循环小数总能被表示成分数，同时也可以用数项级数表示，例如：

六、数项级数是现实应用的工具

数学应用意识的培养有利于学生从数学的视角观察周边生活中的事物，分析事物中的数学点，寻求解决问题的数学方法。因此，把数项级数知识的学科性与数项级数知识的应用性相融合，就是数学教学过程的主要任务之一。数项级数的应用十分广泛，首先，它在处理各类方程中发挥了其特有的功能。邱宁[8]就利用数项级数解决了一类时滞微分方程的解，并得到了很好的近似结果，同样刘明鼎[9]在求解时滞抛物型方程时利用数项级数中几何级数的相关理论得到了最好的近似结果。其次，特殊的数项级数,即几何级数的问题无处不在，比如，前面提出的阿基里斯追龟问题，还有物理学中放射性衰变问题等等。

例1[10]某合同规定，从签约之日起，由甲方永不停止地每年支付给乙方500万元人民币，设银行存款的年利率为10%，若(1)以年复利计息，(2)连续复利计算利息，则合同的现值应该是多少？

解 从题意可以看出，本题是经济学中由将来值求现值问题，其题意为数项级数求和问题，那就需要用现值来逼近无限和,利用几何级数的理论可知：

这是以年复利计息一次在银行存入55百万元，才可以达到要求。

(2)连续复利计算利息，则和(1)的道理一样。

总的现值 5+5e-0.1+5e-0.12+5e-0.13+…=536。

这是以连续复利计息一次在银行存入约53.6百万元的现金，才可以达到要求。

由此看出，对于同样的结果连续复利比年复利所需要的现金要少一些。由此可得数项级数也与我们的生活息息相关，打破了我们的生活只与有限有关的概念。由此培养学生生活中认识数学，学会科学地思考问题并解决问题的能力，从中感悟数学的博大精深，形成正确的数学态度，实现生活中现实问题的数学化。

学生认识数项级数是数学历史发展的需要，让学生历史地学习知识，认识到任何知识的产生都与社会的需要紧密相连；让学生理解数项级数知识的来源基础，进而掌握新的知识，用互相联系的观点理解由旧知识开拓新知识；数项级数在实际问题中的应用，让学生明白知识来源于社会实践并形成理论体系，最终还要服务于社会。多方位、多维度、发散式研究数项级数的知识体系，帮助学生丰富无穷级数的知识内涵，建立各个知识体系之间的关系，了解数项级数发展中的历史背景及艰辛历程，帮助学生开阔学习的思路，培养学生的发散思维和创新思维，提高学生学习数学知识的兴趣。数项级数概念教学中对学生数学思维能力的培养也可以应用到其他相关概念的教学，为通过数学教学来培养学生的数学思维能力提供了一种行之有效的方法。

数学教学的研究视角也日益呈现出多元化的趋势，且更为关注对实践的指导意义和价值；而数学文化研究则在理论的层级化、关注其教育价值和功能以及学与教的改进与变革等方面不断深入。[11]不断提高教学效率，培养学生的数学思维，是数学教师义不容辞的责任。如何在数学教学中培养学生的数学思维，我们在长期的数学教学实践中，总结出以下几个方面:首先，在数学教学实践中，应该积极引导学生参加创造性活动，强化创新、创造意识。鼓励学生的各种新颖、独特的创造性行为，激发创造性欲望，鼓励他们大胆尝试、勇于实践、不怕失败，在不断发现问题、总结经验中进步。当前，正在提倡并且应该加强培养学生的数学核心素养，即培养学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力和数据分析能力。其次，在数学教学实践中，应该积极创造条件，促进学生的好奇心，激发学生的求知欲。通过创设问题情境，使学生面临疑难，产生求知的需要和探索的欲望，主动提问和质疑，教师应及时给予鼓励。还可结合教学，向学生提出一些他们感兴趣而又需要动脑筋才能解决所思考的问题，从而促进创造性思维的发展。再次，在数学教学实践中，应该加强学生发散思维训练，鼓励直觉思维。发散思维更能体现思维的创造性，是创造性思维的主要成分。教师应从思维的独创性、变通性和流畅性入手，重在启发学生从不同角度对同一问题进行思考，以提高学生发散思维的能力。直觉思维在创造性活动中具有重要作用，教师应该有意识地去培养和发展它。要教育学生认真掌握一门课的基本理论和体系，这是非常重要的一步。还要鼓励学生进行推测、猜想，提出各种设想，倡导学生学会捕捉转瞬即逝的直觉，对学生直觉回答中的错误不要指责，应给予正确引导。最后，在数学教学实践中，应该加强学生的直观想象能力，培养他们的创造个性。想象力是人类创造活动不可缺少的因素。教师要引导学生学会观察，获得感性经验，不断丰富学生的想象。引导学生积极思考，不断积累丰富经验，打开想象的大门。

总之，思维能力决定学习能力，教师在数学教学过程中，只有将学生发散思维和创新思维的培养与数学教学内容有机地结合起来，揭示数学思维过程，激发学生的好奇心、求知欲，重视创新思维训练，培养学生的数学思维能力，以提高学生的学习效率，提高教学质量。