抓住应用本质 厘清错误本因

吴晓刚

学习数学的本质目的就是为了解决生活中的问题.同学们在面对一些实际问题时，要有这样的应用意识：分析问题，寻找其中的等量关系，运用方程模型来解决问题.而当我们用一元二次方程来解决问题时，错误就相应增多了.本文旨在帮助同学们厘清这些错误的本因，准确地解决这类实际问题.

例1（2017·西藏）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮的传播就会有144台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

【错解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意得：x2=144，解得：x1=12，x2=-12（不合题意，舍去）.答：每轮感染中平均一台电脑会感染12台电脑.

【剖析】每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，错解中两轮后感染的台数为x·x=x2，漏掉了原来感染的电脑.而实际上原来有一台电脑被感染，一轮感染x台电脑，共有（x+1）台电脑被感染，则第二轮被感染的电脑为（1+x）x台，由此得到总共被感染的电脑为1+x+（1+x）x台.

【正解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意得：1+x+（1+x）x=144，整理得：x2+2x-143=0，解得：x1=11，x2=-13（不合题意，舍去）.答：每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑.

【点评】本题在解答时要抓住的本质是原来被感染的电脑的台数，这样才能准确得到下一轮被感染的电脑的台数及总台数.

例2某工厂从今年1月份起使用新设备，当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元.求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率.

【错解】设每月的增长率为x，由题意得：100（1+x）2=364，解得x≈0.91，或x≈-2.91（不合题意舍去）.答：每月的增长率是91%.

【剖析】本题的错误是将364万元当成了3月份的生产收入，而实质上364万元是1至3月份的总收入.题目条件中“累计”一词已明确告知.1月份生产收入100万元，每月的增长率为x，则2月份收入为100（1+x）万元，3月份收入为100（1+x）2万元，三个月的收入相加为总收入364万元.

【正解】设每月的增长率为x，由题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2=364，解得x=0.2，或x=-3.2（不合题意，舍去）.答：每月的增长率是20%.

【点评】本题在解答时应抓住的本质是“累计”达到的收入，忽视对关键词的理解会让你“满盘皆输”.

例3某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果按每件提价0.5元出售，其销售量就减少10件.如果商店销售这批服装要获得利润12000元，同时要使顾客得到实惠，那么这种服装售价应定为多少元？

【错解1】设这种服装售价应为x元，由题意，得（x-50）［800-10×0.5×（x-60）］=12000.

【错解2】设这种服装售价应为x元，由题意，得解这个方程，得x1=70，x2=80.答：每件服装定价为70元或80元.

【剖析】对于每件服装的利润，同学们没有问题，但对于服装的销售数量，很多同学不知所云，导致出现错解1中的情况.同学们思考的障碍在于“如果按每件提价0.5元出售，其销售量就减少10件”，应当把它转化为“每件提价1元出售，其销售量就减少20件”.有些同学碰上小数就发怵，如果条件是“如果按每件提价5元出售，其销售量就减少100件”，他们就没问题了.错解2中没有抓住“要使顾客得到实惠”这句话，没有将定价高的答案舍去.

【正解】设这种服装售价应为x元，由题意，得解这个方程，得x1=70，x2=80.∵商店要使顾客得到实惠，∴定价为每件80元不合题意，应舍去.答：每件服装定价为70元.

【点评】本题在解答时应抓住的本质是服装销售数量的关系式，这个关系式的实质内涵是随着售价的变化，销售数量是如何变化的.本题另一个关键是验根，一元二次方程都有两个根，在求解无误的前提下也必须要检验，要看这两个根是否有实际意义，是否满足题目限制条件.

小试牛刀

1.如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）.围花园的材料长60米，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

2.某香蕉经营户以4元/kg的价格购进一批香蕉，以6元/kg的价格出售，每天可售出200kg.为了尽快售罄，该经营户决定降价促销，经调查发现，这种香蕉每降价0.1元/kg，每天可多售出50kg.另外，经营期间每天还需支出固定成本50元.该经营户要想每天盈利650元，应将每千克香蕉的售价降低多少元？