高中数学解题中如何回避分类讨论

龚世杰

摘 要 分类讨论是高中数学学习中的一种重要的思想方法，分类讨论对学生思维能力要求比较高，严谨的思考是分类讨论的基础，学生学习分类讨论的方法时，总是会遇到分类不清，考虑不周全等问题，并且分类讨论过程都比较反锁，所以如何回避分类讨论也是需要掌握的技巧，特别是解决选择填空问题时，更加有效。

关键词 分离参数 正难则反 变换主元 特殊值

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

学生在处理需要分类讨论的问题时，经常会因思路混乱而无法得出正确答案，面对有些问题中，如何避免讨论也是学生需要具备的一种能力，对于分类讨论问题，能回避则回避，本文总结了学生学习过程中可能会遇见的能避免讨论的常见问题。

1分离变量回避讨论

在导数的学习中，经常会涉及到求参数的取值范围，对于含参数的函数问题，分类讨论十分普遍，分离参数是最常见的避免讨论的方法，分离参数学生容易掌握，其主要思想是通过分离参数，得到参数与具体函数之间的关系，从而得到参数的范围。

例1：设函数f（x）=ax22x+2，对于任意的10，求实a数的取值范围。

解析：由题可分离参数，将a分离出来，则只需要证明a大于等于右式最大值即可，由导数易得实数a的取值范围是a>。若从二次函数的角度来处理本题，需要讨论二次函数开口方向及对称轴与定义域的大小关系，从而需要进行复杂的分类讨论，当a>0时，由抛物线的图像得a>；当a<0时，经计算端点值解得x∈ ； 当a=0时，不合题意舍去。由上述过程可见分离参数的办法使得整个问题的处理变得简洁。

2变换主元回避讨论

含参数的问题中，学生习惯性的认为函数中自变量就是x，其实自变量与参数是相互的，当我们把x看做参数，参数就可以看成是自变量，在有些问题中，已知一个参数的范围求另一个参数的范围时，可以将已知范围的参数作为自变量，使得问题得到简化，在中学数学的学习中常见的是二次或高次函数与一次函数的变换，将曲线的问题变换成直线的问题来解决，从而避免分类讨论。

例2：若不等式x2+px>4x+p3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围。

解析：由题可将原式变为以p为自变量的函数，显然它是关于p的一次函数，则要使命题成立，只要有两个端点处都为正，解得x>3或x<1，本题可以利用二次函数的零点来处理，则需要分类讨论。需要分三种情况：（1）当p=2时，x≠1；（2）当21；（3）当0≤p<2时，即x<1或x>3，综上可得，对任意0≤p≤4均成立，取交集可得x<1或x>3。由过程可见，分类讨论的方法较为复杂，并且对学生的要求很高。

3正难则反回避讨论

在面对至少，至多等问题时，正面考虑可能会遇到多重情况的讨论，此时可考虑从反面考虑，得到参数范围之后，再求参数范围的补集。

例3：已知方程4x2ax+1=0在（0，1）内至少有一个实根，求实数a的取值范围。

解析：从反面考虑若方程4x2ax+1=0在（0，1）内没有实根，再通过分离参数，易得a<4。若从正面解决该问题，需要分以下几种情况：（1）当方程原有两个相等实根时，即a=4时，有根符合题意。当a=4时不和题意舍去，故a=4；（2）当方程4x2ax+1=0有两个不等实根时，由根的分布通过分两个情况可得a>4。综上可得实数a的取值范围是a≥4。从两种解法上看，本题从反面考虑时就回避了原方程在（0，1）内有一根或两个不相等的实根或两个相等实根的讨论，简化了过程，但是从反面考虑方程没有实根，因为是定区间上的讨论，也需要讨论跟与区间端点的讨论本解法又采用了分离参数的办法回避了讨论，整个过程简单清晰，学生更容易掌握和理解，若从正面解决，需要利用二次函数根的分布并且需要讨论方程根的个数，相对复杂，因此正难则反的思想也是非常有效的解题策略。

4特殊值法回避讨论

特殊值法是通过一些特殊值得到参数的范围，则参数的范围为该范围的子集，从而缩小了参数的范围，达到避免讨论的目的，该方法的重点是合理的选取特殊点，特别是区间的端点及区间内的整数点。

例4：已知函数f（x）=x33（a1）x26ax，当a>0时，若函数f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围。

解析：f'（x）=3x36（a1）x6a，因为f（x）在区间[1，2]上是单调函数，则f'（x）在区间[1，2]上恒正或恒负，而：f'（1）=3<0，所以f（x）在区间[1，2]上单调递减，二次函数f'（x）在区间[1，2]上恒负，易得a≥。如果本题不适用特殊的点缩小考虑范围，则需要讨论函数在区间上单调递增或单调递减两种情况，在每种情况之下，又需要讨论二次函数对称轴与区间的关系，需再进行分类讨论，解题过程会非常繁琐。

解题的方法并不是唯一的，要从多方面去考虑问题，找到最优的解法，如下例题的解法。

例5：设f（x）=ax33x+1，若对于x∈[1，1]总有f（x）≥0成立，求a的值。

解析：由题知f（x）在[1，1]上非負，所以由端点处的值，得2≤a≤4，求导的导函数的两根，由a得范围可知，不许讨论，导数的两根均在[1，1]内，所以由导数容易得a≥4。本题若分离参数也可以解决，过程相对复杂，所以要在解题方法中选择最优解可以提高解题效率。

避免讨论的方法还有很多，本文只从以上四种类型探究了避免分类讨论的方法，学生在处理涉及到需要讨论的问题时，如果能灵活使用上述方法，解决问题的能力将有所提升。

参考文献

[1] 张永辉.高考数学题型全归纳（上）[M].北京：清华大学出版社，2011.

[2] 文卫星.挑战高考数学压轴题[M].上海：华东师范大学出版社，2010.

[3] 李正兴.高中数学解题宝典与考点解密[M].上海：上海科学普及出版社，2011.