数学趣题大集合

寒水石教研室

【一】鸡兔同笼：

大约在1500年前，《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，数头有35个；数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只？

※①假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成94÷2=47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47-35=12（只）。显然，鸡的只数是35-12=23（只）。

【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已，这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，最终把它归成某个已经解决的问题。】

②用“假设法”：假设全部是鸡，头有35个，则脚有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出的脚，每只兔多2只脚，兔有24÷2=12只，鸡有35-12=23（只）。

③用“方程”来解：解设兔头X只，则鸡有35-X只，列式为4X+（35-X）×2=94，X=12，鸡有35-12=23（只）。

【二】牛顿问题：

英国科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，人们把它称为“牛顿问题”：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，几天能把牧场上的草吃尽？（并且牧场上的草是不断生长的）”

※一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1。

（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）

（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）

（3）1天新长的草为：（207-162）÷（9-6）=15

（4）牧场上原有的草为：27×6-15×6=72

（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21-15）=72÷6=12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

【练一练】有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽？

【三】鬼谷算：

我国汉代有位大将叫韩信，他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。” 这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是：1×70+2×21+3×15=157，157-105=52（个）

【练一练】四皓小学订《中国少年报》若干张，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。四皓小学订《中国少年报》多少张？

【四】电灯泡问题：

“过道里依次挂着标号是1，2，3， ……100的电灯泡，开始它们都是灭的。当第一个人走过时，他将标号为1的倍数的灯泡的开关拉一下；当第二个人走过时，他将标号为2的倍数的灯泡的开关拉一下；当第三个人走过时，他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下；……如此进行下去，当第一百个人走过时，他将标号为100 的倍数的灯泡的开关拉一下。问：当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是多少？”

※ 此题实质是找每个灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数1，灯亮；第二个灯泡有两个因数1、2，等灭；由此可以看出因数的个数是奇数时，灯亮；因数的个数是偶数时，灯灭。故当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.

【五】巧求六位数：

“六位数□4321□能被4321整除，這个六位数是多少？”

※采用“假设──计算──排错──验证”的方法。

假设六位数为943219，那么943219÷4321=218…1241，由于余数大于9，所以不合题意。

假设六位数为843219，则有843219÷4321=195…64，余数大于9，也不合题意。

假设六位数为743219，则743219÷4321=172…7，余数小于9，可见符合条件的六位数为743219-7=743212。

当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时，经计算均不合题意。综上分析，要求的六位数为743212。

【练一练】：四位数□89□能被89整除，这个四位是多少？答案：（4895）

【六】时钟问题：

①“钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。” 分针每分钟旋转的速度：360°÷60=6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷（12×60）=0.5°，在钟面上要么是分针追赶时针，要么是分针超越时针。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。

例1：钟面上3时多少分时，分针与时针恰好重合？

※整3时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔90°。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在整3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走360÷12×3=90°，每分钟分针比时针多走6-0.5=5.5（度），所用时间为90÷5.5≈16.36（分）。

例2：在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？

※在整5时，时针与分针相隔360÷12×5=150°，然后分针先是追上时针，分针需比时针多行走150°，然后超越时针180°，共150+ 180=330°，分针每分钟旋转的速度：360°÷60=6°，时针每分钟旋转的速度：360°÷（12×60）=0.5°，（150+ 180）÷（6— 0.5）= 60（分） 5时60分即6时正。