全国卷导数压轴试题中的“虚设零点,整体代换”*

福建省龙海第一中学新校区 陈艺平 苏艺伟

对于导数压轴试题中的导函数零点不可求问题,经常虚设零点,整体代换,可以化繁为简,化抽象为具体,顺利实现转化.本文以全国卷几道导数压轴试题进行说明.

例1(2017年全国 II卷理科第21题)已知函数f(x)=ax2−ax−xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e−2＜f(x0)＜2−2.

解析(1)a=1,过程从略.

图1

通过上述几道全国卷高考试题的分析,不难发现全国卷高考试题偏爱此类导函数零点不可求问题.对于导函数零点不可求的问题,在虚设零点,整体代换的过程中必须把握好两个原则.原则一:在虚设零点的过程中,对隐零点的估值区间要尽量缩小.原则二:在整体代换的过程中,要把握好用什么样的式子代替什么样的式子(其依据是使得计算简洁,解题过程流畅).如果忽略了这两个原则,不仅会使得解题过程较为繁琐,甚至会得出错误结果.