跳扩散模型随机利率下期权的保险精算定价

李浩然，姚素霞

(1.上海大学 经济学院，上海市200444；2.河南师范大学 数学与信息科学学院，河南 新乡 453007)

一、引言

Black与Scholes在1973年提出了非常著名的期权定价公式，即Black-Scholes期权定价公式[1]。众所周知， Black-Schole模型下的期权定价公式对金融市场的假设很强，这意味着，Black-Scholes期权定价公式的应用范围相对较窄。为适应更广泛的金融市场假设，业界在Black-Scholes模型基础上，进行了成效卓著的改进以及推广研究工作[2-4]。

期权定价虽然在金融市场上应用很广泛，但是有时金融市场会存在不完备性，或者不满足非均衡条件，上述文献的定价公式将不再适用。鉴于此，文献[5]初次提出解决以上问题的办法，也就是期权保险定价的方法，即把期权定价中有关定价的问题转化成公平保费问题来研究等。更多关于期权的保险定价的研究可以参见文献[6-8]等。在以上文献模型中，全都假设无风险利率是常数或者时间函数。另外，把无风险利率视为常数或仅为时间的确定函数并不能很好地描述无风险利率的变化特征。

本文是在假设利率过程服从Hull-White模型和跳跃服从Poisson过程的框架下，得出了模型保险的定价公式及其证明过程。

二、市场模型和基本假设

假设标的资产的价格模型{St,t≥0}满足如下广义Poisson跳扩散模型：

dSt= [μ(t)-λ(t)γ]St-dt+σ(t)St-dBt

+JSt-dNt，

(1)

其中，{Bt}表示标准布朗运动过程，σ(t)>0，λ(t)≥0。Nt表示价格在[0,t]区间内跳跃次数， 并假定Nt强度为λ(t)的Poisson过程，而且与Bt独立。随机变量J为标的资产价格过程中跳跃的大小，并假设满足：J>-1，且

设债券的价格模型{Pt,t≥0}服从如下的模型：

dPt=r(t)Ptdt,P0=1,

(2)

其中r(t)表示在t时刻的无风险利率， 它满足如下的Hull-White短期利率过程：

dr(t)=[α(t)-β(t)r(t)]dt+σr(t)dWt，

(3)

其中α(t)和β(t)是漂移参数函数，σr(t)是扩散参数函数，{Wt}是定义在完备的滤子概率空间{Ω,F,Ft,P}上标准布朗运动过程，并假定它与J和Nt独立，且Wt与Bt的相关系数为ρ。

下面给出期权的保险精算定价的有关概念，可以参见文献[5]。

在[0,T]中，0表示期权开始的时间，T为期权到期日。首先给出如下定义：

(4)

假设标的资产价格模型{St}，成熟日T，敲定价格K，C(K,T)为欧式看涨期权t=0价格，P(K,T)为看跌期权在t=0价值，则在到期日T，期权被执行充分必要条件[9]：

欧式看涨期权被执行条件：

欧式看跌期权被执行条件：

其中r(t)表示无风险利率。则由定义2得到：

(5)

(6)

其中IA表示事件A的示性函数。

三、随机利率下期权保险定价公式

本节我们主要讨论期权的定价问题，首先给出引理1和引理2。

引理1[9]假设随机变量ξ～N(0,1)，η～N(0,1)，且Cov(ξ,η)=ρ，则对任意的实数a,b,c,d,k,有

E[exp{cξ+ηd}Iaξ+bη≥k]

引理2 广义Poisson跳-扩散模型(1)的解为

(7)

其中S0表示风险资产在时刻零的价格变量。

定理1 设风险资产的价格过程{St,t≥0}满足广义Poisson跳-扩散模型(1)，无风险利率满足Hull-White短期利率模型(3)，则欧式看涨期权的保险定价公式的显式表达式和买权与卖权之间的平价关系分别为：

(8)

(9)

其中Φ(·)表示标准正态随机变量的分布函数，

这里A(T)=

证明：由于J1,J2,…,JNt独立同分布，且与过程Nt独立，则我们有

又有

我们有

故有

由Hull-White短期利率模型(3)和It公式得[8]:

又因为

等价于

(10)

为书写方便，记

则(10)式可以表示为：

对于给定的正整数n，由于

则由引理1和全数学期望公式可得：

因此(8)式成立，同理 (9)式成立。