匠心独具出妙问动静结合谱不凡

摘要：《课标（2011年版）》要求学生通过义务阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。感悟本题，要让学生解决题中的问题，笔者发现教学中我们要夯实基础的同时，培养学生良好的解题思路，适时的渗透数学思想，以此提高学生的数学思维，让学生顺利解题的同时，从而养成好的数学素养。

关键词：妙问；动静结合；指引教学

中考是毕业与选拔并存的考试，所以每年的中考卷中都有一些为了选拔而存在的题目，就是我们常说的压轴题。让学生们望而却步的中考题压轴题，以它的新颖独特亮相着，每年都会激起千层浪，开出一朵朵美丽的浪花，拍打着我们的思维，激发我们有不同感悟，指引着我们教学前进的方向。笔者将以2016年江苏省苏州市中考数学27题为例谈谈自己的感悟：

一、 原题呈现，亮相不凡

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm。点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0

1. 如图1，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为

2. 如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

3. 请你继续进行探究，并解答下列问题：

（1）证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

（2）如图3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由。

（一） 审题——细读条件，谨而不繁

在读完题目后我们可以把题目的条件分为以下4个：

条件1：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm；条件2：点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为

4cm/s；条件3：过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上；条件4：点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，该题以矩形、正方形、圆为背景考查动点问题，在题目中出现动点和动圆，进一步分析可以看出本题围绕动点P和O进行着。其中由条件2可设BP=4t；由条件4可设DO=3t。重新整理一下条件简化为：

条件1：矩形ABCD，正方形PQMN，圆O；条件2：AB=6cm，AD=8cm，BP=4t，DO=3t，圆O半径为0.8cm。

可见在我们细读条件和提炼的基础上，条件就变得简洁明了，也可看出出题者的精心设计。

（二） 思题——品味设问，新而不难

在理清条件的基础上，我们继续来看本题的设问，发现这3个设问考查多种知识点：

设问1考查了角平分线的性质；设问2考查了等腰三角形的性质以及在解题中要借助相似三角形进行解题；设问3新颖独特考查了直线与圆相切的知识。

匠心独具的设问，更多的是考查学生分析问题、解决问题的能力。

二、 匠心独具，“问”出精彩

本题是几何题与动点的巧妙的结合，纵观本题有矩形、正方形、三角形、圆等基本图形的有机组合，给我们呈现了视觉的盛宴和思维的碰撞。

（一） 妙问一：图形熟悉，重在基础

细品本题的设问，发现出题者紧扣基础，如第一问中给出的条件是“DQ平分∠BDC”结合图4“∠DPQ=∠DCQ=90°”可以应用角平分线的性质得到CQ=PQ，借助相似三角形用含t的式子表示出PQ和CQ，繼而求出t值。

不难发现在问题1中，所考查了角平分线的性质和相似三角形的性质，这些几何知识都是初中数学知识的基础，一旦学生基础知识扎实的话可以轻松解决。

（二） 妙问二：条件简明，体现能力

本题第二问考查的是等腰三角形的知识，按常态我们要分三种情况讨论，但本题加上“以CQ为底”把题目简单化，学生会发现这题无须分类讨论，解决此类问题只需要利用等腰三角形的性质添加辅助线，在图5中作底边上的高ME，应用等腰三角形三线合一的性质得EQ=12CQ，再运用△MEQ与△DCB相似，把EQ长代入求出t即可。

所以第二问中，题目又转化为应用相似三角形的性质去解决。我们发现条件简洁明了，考查了我们学生分析问题，解决问题的能力。

（三） 妙问三：新颖别致，活而不难

众所周知中考压轴题有其新而独特之处，对于第三题的探究①，初读此题觉得很新颖，那么如何解决这个问题；再读题目，我们会发现要解决“点O始终在QM所在直线的左侧”，我们必须找到一个桥梁，而这个桥梁则是“直线QM与边DC的交点F（如图5）”，这样就把题目成功的转化为只要比较DO与DF的大小，如果DO

通过反复的斟酌思考，第三问的探究①给我们的感觉是新颖别致，作为中考的压轴题，它考查了学生分析问题的能力，把新颖的问法融入熟悉的背景使学生感到活而不难，相信我们的考生在面对该题时更多的是亲切感，继而有克服解决它的勇气。

（四） 妙问四：动中细究，水到渠成

第三问中探究②，在图6中我们连接PM，而本题圆在动，正方形不仅动边长还发生变化，给本题的探究造成了一定的困难。本题考查的是直线与圆相切的知识，这是圆中重点知识，而要解决相切的问题作垂线，进而利用相似三角形的性质解决。前半题解决的前提下，判断“PM与圆O是否也相切”就有解决的眉目了。这题为选拔学生，也算尽心尽力，学生通过细究后必须转化为求“O到直线MP的距离h”，然后根据直线与圆相切的定义，进行解题。

看似无从下手的问题，我们在它的动中细细探究，发现其实它考查了直线与圆相切的知识和相似三角形的知识，而解决问题的方法就水到渠成。

三、 感悟不凡，指引教学

《课标（2011年版）》要求学生通过义务阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。而本题对它们进行着最好的诠释。

（一） 感悟一：注重扎实基础，融会贯通所学

中考命题遵循两个基本目标：基础知识和基本技能。本题考查的是三角形、矩形、正方形、圆，基本涵盖了初中阶段的基本图形，可以看出考查面丰富的同时，紧扣着基础知识。它所考查的知识点有：角平分线的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的性质、正方形的性质等等。

俗话说：“千里之行始于足下”，在教学中我们首先要扎实基础。作为教师我们传授知识时，要把每个知识点让学生熟练掌握，同时应用要融会贯通：如我们可以引导学生在看到角平分线的时候，就开始联想角平分线的性质，如本题应用角平分线的性质把问题转化为CQ=PQ；又如第二问中出现等腰三角形并且告知CQ为底的情况下我们会想到等腰三角形“三线合一”，继而添加辅助线作底边上的高MH，从而应用相似三角形的性质去解决。我们发现要解决问题除了要有扎实的基础，同时要让学生把所学知识融会贯通。可以看出命题在重视基础的同时，也要重视知识的融会贯通。

（二） 感悟二：培养解题思路，提高数学思维

“掌握数学就是意味着善于解题”中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。感悟这题，我们发现传统的复习课学生只是机械的模仿老师按常规的经验进行解题，一旦遇到形如本题的创新题，将一筹莫展只能放弃。所以我们的教学中要教会学生如何解题，不断培养学生的思维能力，我打算从以下几方面进行尝试。

第一，审题习惯的培养。罗增儒教授认为解题的关键是“成在审题，败在审题”，可见审题决定解题的成败。在教学中可以让学生读完题目后，把题目中的条件进行一一划分，如本题初步可把条件分为四个，在引导学生继续深入思考分析条件后简化为2个条件。一旦学生成功归纳出以上两个条件后，就说明学生已经完成了解题的第一步审题。

在教学中我会让学生读完题目之后划出条件，让学生思考通过条件能得到哪些有效信息，重视知识的延伸和生长，注意学生发散思维的培养。

第二，解题思路的渗透。在教学中虽然我们深知对学生要“授之以渔”，我们要教会学生解题思路。

如在本题第三问的探究，它是一个新颖的原创题，那么我们要引导学生思考如何架起一座桥梁解决这个问题，思考点O和QM所在直线的左侧有什么联系的地方，学生会发现直线QM与DC有交点F，只要比较DO与DF的大小。我们在教学中注重解题思路的渗透，即教会学生如何分析题目，相信这个“渔网”可以帮助学生捕获不同的“鱼”。我们可以尝试课上更多是引导学生来说说解题思路，教师加以引导总结归纳。

所以，教师在解题教学的时候要渗透解题思路，使学生学会解题，学会思考，学会创造，培养学生的解题思维。

（三） 感悟三：渗透数学思想，培养数学素养

数学基本思想和基本方法支撑和统帅着数学知识是数学的精髓，教师要在传授知识的过程中不断渗透相关的思想和方法，让学生在掌握知识的同时，领悟更深层次的思想和方法。

本题由动态的正方形和圆，以及静态的矩形组成，有运动的点和由此引起变化的正方形的边长。不管正方形的边长如何变化，圆的位置如何变化我们都可以把问题“化归”为点的运动。在第三问中的证明时结合图形发现只要比较DO与DF的大小，用“数形结合”就可以巧妙地解决此题。而对于线段的求解和表示，本题的解题从始至终都渗透了“转化”的数学思想，问题分析最后均转化为相似三角形来解决。解决本题的数学思想有化归思想、数形结合思想及转化思想等思想方法。而对于数学思想方法的教学要在教学中时时渗透，培养学生知识探究的能力。

综合题是考查学生将数学知识和技能融会贯通，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。在课堂教学中我们在重视知识传授的同时，更要重视数学思想和方法的渗透，培养学生提出问题、分析问题、探究问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识。数学思想的渗透同时，可以不断提高学生的数学素养，帮助學生成功的解答题目。

欣赏、感悟一道好题，可以经历思考和研判的客观理性的过程，为今后的教学及研究倾注一股绿色的生机，为未来的教学以及研究带来启迪和帮助。笔者通过本题的感悟，觉得在教学中夯实基础的同时，培养学生良好的解题思路，适时的渗透数学思想，以此提高学生的数学思维，养成好的数学素养，让学生顺利解题的同时，在数学的道路上走得更远。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2013（8）.

[2]阎育苏译.波利亚着，怎样解题[M].北京：科学出版社，1982（2）.

[3]杨瑞强.背景优美，能力立意，启示教学[J].中学数学教学参考，2012（9）：42

作者简介：施长燕，江苏省苏州市，江苏常熟滨江实验中学。