广义拟向量变分不等式与拟近似解

马 圆 圆

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)

0 引 言

向量变分不等式(简称VVI)的概念首次在文献[1]中提出，一些学者已经研究了向量优化问题(简称VOP)与凸性或广义凸性条件下的向量变分不等式之间的关系[2]，这些研究说明多目标优化问题的最优性条件可以由VVIs来刻画.近年来，凸性的概念不断被推广，如文献[3]提出了近似凸性的概念，文献[4]提出了广义E-凸函数的概念和性质.

在VOP问题中，有效解是一个被广泛应用的概念.文献[5]利用近似凸性的假设和拟有效性的概念，研究了VOP问题中的近似凸性；Mishra和Upadhyay在文献[6]中研究了VVIs和非光滑VOP问题之间的关系；Mishra和Laha在文献[7]中建立了近似VVI的解作为VOP问题的近似有效解的充分和必要最优性条件；Yang和Zheng在文献[8]中得到了VVI的解的充分和必要最优性条件；Lee等人在文献[9]中建立了不同类型的VVI与非光滑多目标优化问题之间的关系；文献[10]定义了KT-严格近似(KT-近似)伪凸仿射函数的概念，研究了广义Stampacchia VVI与多目标优化问题之间的关系.

受文献[10]的启发，本文通过利用两类新定义的广义凸函数，在合适的约束品性条件下，Kuhn-Tucker向量临界点、多目标优化的解与广义Stampacchia VVI在弱和强形式下解之间的关系将会被证明.

1 预备知识

在本文中，需要以下偏序关系：对任意的x，y∈Rl，有

x=y⟺xi=yi，∀i=1，2，…，l

x≤y⟺xi≤yi，∀i=1，2，…，l

x

x≤y⟺x≦y，且x≠y

考虑如下的多目标优化问题：

(MP) minf(x)=(f1(x)，…，fm(x))

s.t.g(x)=(g1(x)，…，gm(x))≦0

h(x)=(h1(x)，…，hm(x))=0，x∈Q

这里，fi，i∈I={1，…，m}；gj，j∈J={1，…，n}；hk，k∈K={1，…，p}是Rl中的实值局部Lips-chitz函数，Q∈Rl是任意集；有效指标集记为J(x0).MP问题的可行集定义为

S={x∈Rl：g(x)≦0，h(x)=0，x∈Q}

定义1[11]φ：Rl→R是局部Lipschitz函数，φ在x处沿方向v的Clarke广义方向导数记为φ°(x；v)，定义为

定义2[11]φ：Rl→R是局部Lipschitz函数，φ在x处的Clarke广义次微分记为∂Cφ(x)，定义为 ∂Cφ(x)={ξ∈Rl：〈ξ，ν〉≤φ°(x；ν)，∀ν∈Rl}.

下列推论是文献[10]的推论2.1结果的直接推广.

(1) 下列系统无解：

≦0 ≦0

文献[5]中介绍了MP问题的局部(弱)拟有效解的概念，这里给出局部(弱)近似拟有效解的概念.

(1)

(2) 可行点x0是MP的局部弱近似拟有效解(近似弱拟有效解)当且仅当存在

和x0的邻域U，使得x∈U∩S(或x∈S)，下列不等式(2)不成立：

(2)

定义4[10]可行点x0是MP的Kuhn-Tucker向量临界点(简称KTVCP)当且仅当存在

且

使得

N(Q，x0)，μjgj(x0)=0，∀j∈J

下面给出两类新的广义凸函数定义.

定义5 令x0∈S，MP问题在S上x0处是近似(严格近似)拟伪凸仿射函数，若对于任意

存在δ>0，使得对每一个

进而有下列不等式(3)成立：

h°(x0；x-x0)≦0，(-h)°(x0；x-x0)≦0

x-x0∈TC(Q，x0)

(3)

文献[10]中介绍了广义(弱)Stampacchia向量变分不等式的概念，下列定义6和定义7给出广义(弱)Stampacchia拟向量变分不等式的概念.

(4)

(5)

2 主要结果及证明

证明与定理1证明类似.

(6)

证明与定理3证明类似.

证明与定理5证明类似.

3 结 论