浅析几种常用变换间关系 助推信号与系统类课程教学

范迪 高洁 祁亚萍 薛立勤 张丽丽

摘 要：拉氏变换、傅里叶变换、Z变换是工程类专业重要、基本的数学工具，是相关科目教学中的重点和关键。但由于其理论性强，故也是教学的难点。文章比较系统地对所涉及的几种变换及其相互关系进行剖析、归纳和总结，从时域、变换域细致地进行描述和呈现，旨在使学生对它们的本质和内在关联有更深入的认识和理解。

关键词：拉氏变换；傅里叶变换；Z变换；时域；变换域；变换间的关系

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）14-0106-03

Abstract： Laplace transform， Fourier transform and Z transform are important and basic mathematical tools for engineering majors， and they are the key points in teaching related subjects. However， due to its theoretical strength， it is also a difficult point in teaching. This paper systematically analyzes several kinds of transformations， summarizes their interrelationships and describes and presents them in detail from the time domain and the transformation domain. The purpose is to enable students to have a deeper understanding of their nature and intrinsic connections.

Keywords： laplace transform； fourier transform； Z transform； time domain； transform domain； relationship between transforms

一、概述

積分变换是电子信息工程、通信工程、自动化、电气工程等工科专业主要的数学工具。对连续信号和系统而言，主要有拉普拉斯变换（简称拉氏变换，Laplace Transform， LT）、连续信号的傅里叶变换（Continuous Time Signal Fourier Transform，CTFT）、连续周期信号的傅里叶级数（Continuous Time Fourier Series，CTFS）。对时域离散信号而言，主要有序列的傅里叶变换（Discrete Time Signal Fourier Transform， DTFT）、周期序列的傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS）、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform， DFT）和Z变换（ZT）。[1-7]

变换开启了观察和分析信号与系统的新视角。它可把信号和系统从时域或空域等原域变换到s域、z域、频域等变换域中，在变换域中，信号和系统呈现出了在原域中难以观察到的特性和特点。因而，一般来说，信号或系统在时域或空域的表达形象与直观，易于理解；在s域、z域或频域等中的表达则更为抽象和简练，剖析问题也更为深刻和方便。而事实上，越来越多的信号分析或者复杂信号分析更多地需要在变换域进行。

然而，越来越重要和有用的几种变换，由于其数学理论性强，教师授课及学生学习的过程中，往往在讲清楚说明白上，在学明白和会应用上存在较大的难度，致使相关科目的教学，如《信号与系统》、《数字信号处理》、《数字图像处理》等，一直以来处于难教难学的状态。[8，9]本论文系统地对这几种变换及其相互之间的关系进行剖析，旨在使相关老师和学生借助几种变换间关系的描述，对它们的本质和内部之间的关联有比较深刻的认识和理解，从而解决了相关科目教学中的难题。

四、结束语

拉氏变换、傅里叶变换、Z变换是信号与系统、数字信号处理及数字图像处理等课程中重要的数学工具，能把信号从时域或空域转换到频率、复频域或者Z域等变换域，实际上就是从另一个视角来呈现信号的特点。但由于其数学理论性强，致使相关科目的教学一直存在较大难度。

本文比较系统地对几种变换及其相互关系进行归纳和总结，从时域、变换域角度分别描述它们的特点及之间的关系，借助这些关系的描述，使读者对几种变换的本质和内部之间的关联有比较深刻的认识和理解，对后续利用这几种变换分析信号和系统将有较大的帮助。

参考文献：

[1]郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]高西全，丁玉美.数字信号处理（第四版）[M].西安：西安电子科技大学出版，2016.

[3]程佩青.数字信号处理教程（第五版）[M].北京：清华大学出版社，2017.

[4]曹茂永，孙农亮，等.数字图像处理[M].北京：高等教育出版社，2016.

[5]包革军，邢宇明，盖云英.复变函数与积分变换（第三版）[M].北京：科学出版社，2015.

[6]杜洪艳，尤正书.复变函数与积分变换[M].北京：机械工业出版社，2014.

[7]杨巧林.复变函数与积分变换（第3版）[M].北京：机械工业出版社，2013.

[8]吴顺喜，黄文俊.FT_ZT_DFS_DFT和FFT变换的特点及相互关系[J].电子制作，2015（10）：121.

[9]李敏.应用型人才培养模式下的数字信号处理教学方法探讨[J].当代教育实践与教学研究，2017（12）：53-54.