利用几何变换 构建多态图形——以《周长的复习》为例探讨静态图形动态化教学

钱静静

一、研究背景

图形与几何教学在数学教学中一直以来备受关注。2011版课程标准中指出：观察与描述是发展空间观念的基础，而想象与再现则是更高层次的空间观念的表现。静态图形动态化教学就是运用变化的观点，利用静态手段创设出动态情境，让学生通过观察、想象等使静态的图形动起来，并在运动变化的过程中揭示图形本身的特征或图形与图形之间的本质联系。静态图形动态化教学正是实现这更高层次空间观念培养的一个重要途径。如何有效设计静态图形动态化教学发展学生的高层次空间观念呢？笔者以人教版三年级上册教材中的《长方形、正方形周长的复习》一课为例以探讨静态图形动态化教学。

二、教学实践

1.教学前思

几何变换是几何教学中重要的学习内容也是学习的思想方法。在小学阶段，主要的几何变换方法有图形的平移、旋转和轴对称。在运动变换中研究、揭示、学习图形的性质，可以加深学生对图形性质的本质认识。研究一个图形的特性固然重要，而构建不同或多个图形间的分与合探究其几何属性，更具灵动性，有利于触发学生想象，从而更好地发展学生的空间观念。因此，利用几何变换、构建多态图形是实现静态图形动态化教学的重要方法。

教材总复习中的习题如图1所示，通过2个同样的长方形长边、短边相拼计算组合图形的周长，巩固长方形、正方形周长的相关知识。以此为基点，重点介绍组合图形周长的求法，把握、再现常态，掌握基本方法。在此基础上，继续展开深入研究：把2个相同的长方形作为基本图形，通过平移、旋转等几何变换，让学生观察、想象它们可能的位置关系。放手呈现多种形态的过程正是触发学生想象、打开想象空间的过程。最后围绕周长这一核心概念，通过平移变换，引导学生通过观察、想象、联想沟通静态图形，由静想动，在“动与静”“变与不变”的探求过程中充分发展学生的空间观念。沟通实现动态的过程正是实现了静态图形在学生的脑中“动”起来的过程。

图1

2.教学尝试

【基础】——把握、再现常态是基础

(1)活动1：求一个长方形(如右图)的周长(长为6厘米，宽为3厘米)。

学生活动：求出长方形周长(6+3)×2=18(厘米)。

(2)活动2：求2个相同长方形拼成后的图形周长。

学生活动：求出长边相接拼成的图形如右图的周长。

教师活动：重点介绍方法2×18-2×6=24(厘米)。

追问：为什么要-2×6 ？

学生回答：跟原来的周长相比少的是2条长边。

教师活动：引导学生总结这些方法的共同之处都是求它一周的长度。

学生活动：根据上面的经验用多种方法求短边相接拼成图形(如右图)的周长。

(3)活动3：比较拼成后2个图形的周长。

学生回答：不用算，只要比拼接部分，拼接的越短，周长越长。

【设计意图】

活动设计基本源于课本习题，力求扎实掌握求周长的方法，回归周长的概念本质。通过活动2、活动3有意介入后续学习的方法指导，提供方法支撑，为后续学习作好铺垫。

【拓展】——放手呈现多态是抓手

拼一拼、想一想：用2个相同的长方形还能拼成怎样的图形，它们的周长又会怎样？

学生活动：若出现如右图形态，经过旋转后一样的归为一类。

若出现如右图形态，在同一边上平移的、形状类似的，统归为一类。

最后总地呈现为六大类，如图2所示。

图2

【设计意图】

通过“用这样的2个长方形还能拼成怎样的图形呢？它们的周长又会怎样呢？”这个紧紧围绕周长这个几何概念的开放性问题，学生思维空间一下子开阔了。在讨论反馈中利用平移、旋转等几何变换引导学生展开想象，在学生头脑中形成丰富的图形表象，累积了想象经验，从而发展了空间观念。这就是图形由单一形态向多种形态发散的过程，也为后面的继续研究提供了素材。

【提升】——沟通实现动态是关键

活动：探究六大类图形的周长特性。

教师活动：抛出研究问题。

问题一：哪个图形的周长最长？

问题二：哪个图形的周长最短？

问题三：哪几个图形的周长一样长？

学生回答。

问题一：图c。

问题二：图a，因为它拼接的部分最长。

问题三：图b和图f，拼接部分长度相同。

活动1：探究同一类图形纵向平移变换周长的变化。

教师活动：引导学生观察图f，刚刚我们在归类的时候，图f不仅仅是这样的，它们的周长还一样吗？

学生回答：它在同一边上移动的过程中，拼接部分都是一样的，所以它们的周长是一样的。

活动2：探究不同类图形横向平移变换周长的变化。

教师追问：再仔细观察，哪个图形的周长也可能跟图b和图f一样？

学生回答：可能是图e。

教师追问：它的周长最长会是多少？最短是多少？

学生回答：最长就是图c，最短就是图a！

活动3：自主展开想象探究图形变换周长变化。

教师活动：引导学生观察图d展开想象，思考它的周长又会怎样。

学生回答：它就是两个长方形竖着移动，从图b往下移周长越来越长，最长的时候就是图c！

【设计意图】

通过设计3个以周长的概念理解为中心点的3个问题，目的是让学生对多态图形进行整体把握，利用几何变换，通过观察想象构建彼此之间的联系，让静态图形动起来。

在讨论的过程中，3次让学生感受“动”。通过活动1让学生在纵向平移过程中感受图形形状改变而周长不变。活动2通过横向平移变换学生再次明确拼接边越长周长越短，同时构建起图a、图c、图e之间的联系，感受到图a、图c、图e其实是图形在平移过程中特殊的情况，静态图形在彼此之间动起来了。活动3让学生自主迁移，构建起纵向平移变换的动态过程。在教学中还有同学想出了两个长方形从交会到离开这一整个的动态过程，能有这样的动态化过程想象，空间想象能力一定提升了。

在这沟通的板块，所有的问题指向几何概念——周长，围绕这个中心点，跳出了烦琐单一的图形周长计算的圈子，从概念的本质出发统筹研究，整体把握。利用几何变换把多态的图形搭桥引线联系起来，这“求联”的过程正是静态图形动态化的过程。这样就为学生拓宽了自由想象的空间，累积丰富的想象经验，提高对图形间关系的把握能力，从而发展了学生的空间观念。

三、课后总结与思考

如何利用几何变换构建多态图形，发展学生的空间观念，通过这节课的教学实践，笔者对静态图形动态化教学有以下思考和总结。

静态图形动态化教学设计思路为：紧抓图形概念本质，充分利用图形的几何变换特性。通过构建两个或多个图形，由单一形态向多种形态发散，关注图形间的位置关系。以把握、再现常态图形作为基础、放手呈现多态图形为抓手，最后以沟通实现动态图形为关键，让静态图形在学生的脑海中“动”起来，从而发展学生的空间观念。

从教学内容来看，这种教学模式对于周长这个概念教学行之有效，那么对于其他几何概念的教学，例如面积，是否也有参考价值？

从学生能力发展来看，空间观念的培养并不是一蹴而就的，需要不断的经验累积、丰富想象，所以在不同学段的教学中都要渗透静态图形动态化教学。它的教学是循序渐进，能力是螺旋上升的。那么不同学段，对于同一几何概念静态图形动态化教学应有怎样的不同呢？带着这些思考与问题，笔者将继续在小学数学教学路上摸索前行！