在核心素养理念下提升中学生数学学习力

徐瑢　徐卫东

摘要：发展学生核心素养是落实立德树人根本任务的必然要求，是发展学生的理想信念和社会责任感、科学文化素养和终身学习能力，促进学生全面而有个性的发展的的有效载体，是新课程标准研制的最大亮点。在高中数学教学中，数学核心素养的六个方面——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，它们相互交织、相互联系、相互渗透、形成合力，聚焦“问题解决能力”和“数学思维能力”。

关键词：数学核心素养；问题解决；数学思维能力

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）12-025-2

课堂是教育的核心领域，是立德树人的主渠道和主阵地，是学生品格提升的重要载体，也是培养学生的核心素养重要平台。教学中教师应充分的进行教学预设，灵活地把握各种教学时机，促成学生知识的生成和能力的发展。本文从一道数列与不等式交汇问题的探究性教学出发，浅谈在课堂教学中如何发展学生的数学核心素养，提升学生“问题解决能力”和“数学思维能力”。

一、问题原景呈现

已知数列{an}中，an=3n+（-1）n。设Tn=1a1+1a2+1a3+…+1an，是否存在正整数k，使得当n≥3时，Tn∈（k10，k+110），如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由。

二、教学背景分析

本题是高三模拟考试一道试题的最后一问，在对学生考试情况的分析中发现，很多同学思路不明，无从下手，得分不高。此外，笔者惊喜地发现，若把本题作为开展学生探究性学习的载体，可以很好地发展学生各种数学能力，培养学生数学核心素养。

三、教学片段透析

1.检索相关知识，培植问题解决的起点

对所学知识的理解是“问题解决”的前提，知识理解不仅是对知识的本质、类属的掌握和领悟，还有基本技能的形成和发展，更有知识、方法的应用及与其他知识的联系。所以，要解决所给问题，发展核心素养，都应该从知识的理解出发。

教学片段一

师：今天我们来交流探究成果，相信大家作了充分的准备，领略了试题的魅力和风采。请畅所欲言，将自己探究过程中的心路历程呈现出来。首先请同学分析一下，试题考查的知识点是什么，是以什么样的方式呈现的？

生1：本题考查的知识点是数列和不等式，并以存在性问题的形式呈现，是我们经常遇到的一类综合题。

师：很确切。试题题面简洁，在数列与不等式交汇处命制，开放、综合，能力要求高，具有近年来高考的“流行元素”，符合能力立意的命题宗旨。虽然我们在高三阶段经常遇到此类问题，但为什么本题却难以突破？原因何在？请分析一下。

学生2：我遇到的最大问题是题目中的数列不会求和，和得不到化简，就不能解决接下来的不等式问题。

师：大家不是已经熟练掌握了不少特殊数列的求和方法吗？那你为什么不会对题中所给的数列求和呢？你遇到什么困难，请具体说说看。

学生2：我最初的想法是研究通项1an=13n+（-1）n，看看能否直接求和，结果令我很失望：由于通项1an=13n+（-1）n是分式，且分母是两个数的幂之和，其中之一还是-1的整数次幂，我们以前所学的数列求和方法都用不起来了，也就使我们的研究目标Tn=1a1+1a2+1a3+…+1an=12+110+126+…+13n+（-1）n得不到化简，考试时有种无从下手之感。

【反思】 引导学生从分析试题所涉及的知识出发，检索、回忆相关知识，认清面临的困境，这样才能有继续探寻突破的可能，为进一步探究下去埋下伏笔。知识的理解是数学核心素养发展的第一级水平。

2.助推知识迁移，探寻问题解决的突破口

知识迁移是问题解决的关键，只有将所学的知识、形成的基本技能迁移到新的问题情境之中，才能进一步认清知识本质，促成知识生成，才能更好的厘清数学知识之间的逻辑关系，掌握好数学思想方法，这样需要用到多种数学方法和多种数学知识的复杂问题才有可能得到解决。

教学片段二

师：原来如此，这个数列求和并不属于我们之前已经解决的类型。那该如何继续下去？怎样寻找信息，加以突破？

学生3：不妨先写出几项，对它有个大致的了解，直观感知一下：

1a1=12，1a2=110，1a3=126，1a4=182，1a5=1240，…，很明显，{1an}呈递减趋势。

T1=12，T2=35=610，当n≥3时，T3=83130<710，T4=17342665<710，…，这个规律让我很受鼓舞！Tn的涨幅是越来越小的，当n趋向于无穷大时，这种涨幅趋向于0，这样下去Tn会不会一直小于710呢？而且，T2恰好是610，这似乎在冥冥之中又给我们暗示！前景已变得明亮起来。我们不妨大胆猜想k=6！剩下的问题只要证明1a3+1a4+…+1an<110。

师：分析的很精辟！给我们确定了一个相对比较明确的目标。但有了大胆猜想，还要小心求证，这是做科学的态度。下面该如何证明上述不等式？这个不等式仍然不能直接求和，左边的和式无法与右边直接作比较。

学生3：我们还有一个“重磅武器”——放缩！这里看到（-1）n，不禁要对n分奇偶讨论。

当n为偶数时，记On为所有偶数项的和（n≥3），只要将分母的加1去掉，即有1an=13n+1<13n，我们就可以将不可求和的数列放成等比数列加以求和了，故有On=134+1+136+1+…+13n+1<134+136+…+13n=134（1-（13）2（n-1））1-（13）2<172，即On<172。

師：对偶数项而言，这种放缩很自然，那对奇数项呢？因为其分母都是减1，不易放缩呀！

学生4：当n为奇数时，记Jn为所有奇数项的和（n≥3），令n=2m+1（m≥1），则an=132m+1-1=13×32m-1=12×32m+32m-1，因为m≥1，所以32m-1>0，从而an<12×32m，由等比求和可得Jn<116，故On+Jn<172+116<110。这样证实我们的猜想是对的，故k=6。

师：太棒了，在大家的共同努力下，这个问题得到了解决。这里的分类讨论和不等式的放缩显示了我们同学扎实的基本功，同时也展示了卓越的分析能力和数学智慧。

【反思】 学生从特殊情形出发，对数列{1an}中的各项数据加以分析，发现数列的发展趋势，结合所要解决的问题，进行合理猜想，顺利将问题转化为相对比较容易解决的情形，同时将不能求和的数列放缩为能够求和的形式，最终使得问题得到解决。在这过程中，发展了学生数据分析、数学运算和逻辑推理等数学学科素养，将知识顺利的迁移到陌生的情境之中，找到了问题解决的突破口。知识的迁移是数学核心素养发展的第二级水平。

3.实现知识创新，促成数学思维的升华

知识创新是我们数学教育的终极目标，是数学核心素养发展的最高水平。知识创新不仅要超越教材，生成新知识，还要能在问题解决过程中将所学各种知识深度融合，能融入学生的观点及思想，对问题进行推广与变式，得到新的问题和结论，从而促成学生数学思维的升华。

教学片段三

学生5：我想在学生3分析的基础上，再发散一下。要证的区间长度是110，凑巧的是a2为110，这很自然地联想到我们熟悉的等比数列12，14，18，…，其和为1-12n<1，几何解释如图，即在边长为1的正方形中，各小矩形的面积之和小于1。

接下来又有一个大胆的猜想，当n≥3时，{1an}中的项是否满足1an<12·1an-1（*）呢？如果这样，就会有Tn<12+110+12×110+122×110+…+12n-2×110=12+110+110（1-12n-2）<710。

证明（*）可用分析法：1an<12·1an-12an-10，又因为n≥3，显然成立。

师：真棒！这里合情推理与演绎推理交相辉映，观察分析、联想猜测、探索演绎，都是我们解决数学问题的科学方法，同学5还能有几何图形佐证他的猜想，数形结合，对我们有很好的启迪。

学生6：事实上，上述两种方法都走了弯路，我们可以直截了当地把Tn放缩成等比数列的和。此时我们需要对含有（+1）和（-1）的相邻两项的和作分析，看看它们是否具有以下关系：

13n+1+13n+1-1<13n+13n+1（**）（n≥2，n为偶数）（用分析法易证，略）。

想到它其实很自然，我们总是要把陌生的东西转化我们信手拈来的东西。这样问题就转化为Tn<12+132+133+…+13n。因为这个放缩方法是“两两组合”，严谨起见，还需对n分奇偶讨论：

当n为奇数，恰好运用（**）证明，Tn<12+132（1-13n-1）1-13<12+16=23<710；

当n为偶数，则加强命题为，Tn<12+132+133+…+13n+13n+1<12+16=23<710。

由此我们可得结论：存在满足条件的k，k=6。

【反思】 在所给问题已经解决的基础上，学生还有自觉地探究下去欲望和冲动，发展了思维，掌握了数学本质及知识间的联系。这一过程中，将代数式放缩几何化，化抽象为直观，并加以严格的逻辑推理，既推动了数学抽象能力，又提升了直观想象和逻辑推理的素养，作为数学核心素养的六个成分中三个，都得到了有效的发展，实现了知识的综合和创新，发展了数学思维能力，形成学科思維是学科核心素养发展的最高表现。

四、教学反思感悟

本节课采用“先行组织者”策略，以具体的数学问题为载体，引导、组织学生不断发现问题、探寻思路、提出策略，最终使问题得到有效地解决。在实施这一策略的一系列过程中，解决具体的数学问题并不是最重要的，关键是我们要能从中得到启发，通过联想和迁移对问题从多个维度思考，让学生经历知识理解、知识迁移、知识创新等数学核心素养发展的三个层次，使思维变得更为开阔和发散，更具流畅性、变通性和独特性。唯有如此，学生才能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、和基本活动经验，真正地实现知识的生长，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，最终发展学生的核心素养。作为奋战在教学一线的数学教师，如果我们能坚持将这样的探究式教学活动作为教学常态，更多地为学生提供展示其创造性思维的平台，那么，我们的数学教学就会更加充满灵动和活力。

（本文是江苏省教育科学十二五规划课题“知识生长观下的中学生数学学习力提升研究”的阶段成果。）