试析分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法

李明伟 李永芳

【中图分类号】O241.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）08-0151-01

1.问题的提出

在研究矩阵的求解、特征值等方面，分块周期三对角矩阵具有其特殊性，对计算机及相关工程发展有重要意义。因此，本文提出了利用Sheman-Morrison-Woodbury公式来获得分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法。本文研究型如矩阵A的分块周期三对角矩阵的逆矩阵算法：

A=a1 b1 0 … 0 tc2 a2 b2 … 0 00 c3 a3 … 0 00 0 0 ？噎 an-1 bn-1s 0 0 ？噎 cn an

其中A的元素ai，bi，ci，s，t均为m阶方阵，根据s，t，m的取值不同，其分别称为矩阵A的不同形式。

2.预备知识

为了研究型如矩阵A的逆矩阵算法，通过以下引理作为理论基础进行分析。

引理 1：假设C为分块三对角矩阵，根据LU、UL对矩阵进行分解，分解结果如下：

C=L1U1=Il1 I l2 I ？埙 ？埙 ln-1 Iu1 b1 u2 b2 u ？埙 ？埙 bn-1 un=

U2L2=α1 b α2 b21 α3 ？塤 ？埙 bn-1 αnIβ1 I β2 I ？埙 ？埙 βn-1 I

其中序列{li}，{ui}，{αi}{βi}可以按照u1=a1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，…，n。

引理2：设B为n阶可逆方阵，x，y是n维列向量，当且仅当1+yTB-1x≠0时，B+xyT为可逆的，并得出等式（1）

（B+xyT）-1=B-1- （1）

引理3：设B为n阶的可方阵，X，Y均为nm×m矩阵，则当且仅当Im+YTB-1X可逆时，B+XYT为可逆的，并得出等式（2）

（B+XYT）-1=B-1-B-1X（Im+YTB-1X）-1YTB-1 （2）

3.新算法的构建

那么结合引理，给定m阶可逆方阵P1，Q1，令Qn=Pt，Pn=Qs，那么可以构造向量：

P=P100Pn，QT=（Q1，0，…，0，Qn）

那么分块周期三对角矩阵B表示为：B=D+PQT，根据引理3等式（2）可以将矩阵BD的关系表述为：

B-1=（D+PQT）-1=D-1-D-1P（Im+QTD-1X）-1QTD-1

那么如果矩阵B为型如A的矩阵，那么假设矩阵D为可逆的，则矩阵B需要满足Im+QTD-1P是可逆的，并可以通过下列算法获得矩阵B？鄄1的元素。

给定任意P1，Q1，Qn=P1-1t，Pn=Q1-1s，u1=a1-P1Q1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，…，n，an=αn-PnQn，βi=αi+1-1ci+1，αi=ai-biβi，其中i=n-1，n-2，…，1

给定g1=Im，x1=Im，将hi，gi，xi，yi带入上式，则有

h1=α1-1，hi=-bi-1hi-1α1-1，其中i=2，3，…，n，gn=（unhn）-1，gi=-bi

hi+1ui-1，其中i=n-1，n-2，…，1

y1=α1-1，yi=-βi-1yi-1，其中i=2，3，…，n

xn=（unhn）-1，xi=-lixi+1，其中i=n-1，n-2，…，1

那么有γ=Im+（Q1g1h1+Qnynx1）P1+（Q1g1hn+Qnynxn）Pn

∈=γ-1（P1x1y+Pnhng），f=Q1g1hT+QnynxT

cij=gihj-∈ifj，i≤jxjyi-∈ifj，i>j