米级口径经纬仪保护窗口镜面变形分析

赵晓东，王 晶

(1.中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033;2.中国科学院大学,北京 100049)

1 引 言

在常规武器靶场任务实验中，现代光电经纬仪系统的主要作用是观察目标的全过程，为指挥中心提供高清晰、直观的目标实况图像[1]。对特定观测波长而言，望远镜口径越大，理论分辨率越高，作用距离越远[2-3]。米级口径经纬仪主系统前加装保护窗口的主要目的是防盐雾侵蚀及防湿热防潮、防霉。然而，另一方面，保护窗口镜面变形会直接影响系统的成像质量。以往600 mm口径光电经纬仪的窗口设计基本能够保证成像质量要求，但当口径达到米级水平时，情况发生很大改变，窗口的质量、面积、厚度都有所增加，这就意味着窗口的变形更加难以预测。为了保证米级口径经纬仪最终的成像质量，必须对保护窗口的镜面变形进行分析。

光学元件工程分析面临的主要问题是接触所带来的边界条件的非线性问题[4]。工程分析在很多情况下采用线性分析方法，对诸如螺钉联结、零部件接触等非线性环节通常进行线性简化建模[5-6]，这会造成结构内部应力得不到有效释放，通常用于接触条件要求不高的仿真中。对于经纬仪这种镜面微小变形就会引起成像质量很大变化的精密仪器，简化模型存在的连接自由度或连接件刚度与实际情况不一致的问题将会突显，导致镜面变形分析的精确性降低。

为了精确描述米级口径经纬仪保护窗口部件之间的接触关系，本文采用接触有限元理论，针对模型中螺栓联结部位进行了接触非线性分析，提高了分析精度。在进行面形拟合前，应用齐次坐标变换法去除结构刚体位移，分离出镜面畸变数据。将Zernike多项式作为本文的面形拟合和光机集成分析的接口工具，并结合ZEMAX光学设计软件，从波前图获得镜面波前像差RMS值，以波前像差RMS衡量镜面变形对成像质量的影响。最后，通过与线性刚性连接仿真方法和干涉仪检测结果进行对比，判断保护窗口设计是否合理。

2 接触有限元理论

本文使用惩罚法[7]求解有限元模型中的接触非线性问题。线弹性材料接触问题的求解可归结为接触体总能量最小的问题，即

(1)

(2)

(3)

在实际计算中，保护窗口有限元模型计算时，需设置接触表面间的滑动摩擦系数、法向惩罚刚度系数和侵入量容差的大小。法向惩罚因子过大会造成收敛困难；法向惩罚因子过小会造成计算不精确。一般法向惩罚刚度系数取0.01～10，侵入量容差取0.1。

3 保护窗口的有限元分析

3.1 保护窗口的结构

保护窗口主要是由平板玻璃、橡胶垫、压环、框体组成。窗口平板玻璃直径为1 035 mm，厚度为85 mm。平板玻璃置于框体中，压环和框体通过16个螺栓联结，使用薄橡胶垫将三者隔开。保护窗口结构如图1所示。

图1 保护窗口结构 Fig.1 Protective window structure

3.2 螺栓预紧力

重力和螺栓预紧力是导致保护窗口镜面变形的主要载荷。为了保证压环和框体的可靠联结，施加适当的螺栓预紧力是必要的。工程实际中，经常使用力矩扳手来控制施加于螺栓的拧紧力矩的大小，从而控制螺栓预紧力的大小。拧紧力矩与螺栓预紧力的关系为[8]:

T=K·d·Ff,

(4)

式中，T为拧紧力矩，K为转矩系数，d为螺栓名义直径，Ff为螺栓预紧力。根据工程经验，无润滑条件下，K值可取0.2。保护窗口压环与框体间的螺栓拧紧扭矩为3 N·m，螺栓名义直径为8 mm，据式(4)可计算出螺栓预紧力为1 875 N。

3.3 保护窗口的有限元模型

图2 保护窗口有限元模型 Fig.2 Finite element model of protective window

将在UG中建立的保护窗口模型导入ANSYS有限元分析软件进行网格划分。其中，平板玻璃采用扫掠网格划分方法，网格单元为六面体单元；压环和框体采用自由网格划分方法，网格单元为四面体单元，并对压环和框体中的螺栓孔进行网格细化；螺钉同样采用扫掠网格划分，网格单元为六面体单元。最终划分单元总数为148 838。保护窗口有限元模型如图2所示。

3.4 接触和约束条件

为了更加真实地反映重力和螺栓预紧力对保护窗口镜面变形的影响，采用接触非线性有限元分析结构变形，需要设置的接触有：螺栓与压环的接触、压环与框体的接触，都设置为带摩擦的接触。为了降低分析复杂度，将不是研究重点的其余部分设置为绑定接触。在ANSYS有限元仿真中，为了阻止接触表面相互侵入，接触表面间需要建立一个互不侵入的约束关系，即接触协调条件，所有的ANSYS接触单元都采用惩罚刚度系数来保证接触协调性。保护窗口是固定于经纬仪上的，故在框体底面施加限制框体自由度的固定约束。

3.5 材料属性

保护窗口中，压环材料为45钢，框体材料为HT250，平板玻璃材料为熔石英，垫圈是橡胶。材料属性参数如表1所示。

表1 材料属性参数

4 保护窗口镜面面形拟合

光学元件表面总是趋于光滑和连续的，所以镜面的面形变化可以表示成一个完备的基底函数的线性组合或线性无关的基底函数系的组合[9]。Zernike多项式在单位圆内正交且各项系数与赛德尔像差相对应,目前已广泛应用于面形表征、光学设计和检测等领域[11]。由于篇幅原因，这里列出了Zernike前五项多项式及意义，如表2所示。

表2 Zernike前五项表达式及意义

4.1 保护窗口去除刚体位移算法

光学表面变形通常包含离焦、偏心、倾斜、畸变4种形式。其中，前3种变形是由支撑结构的变形造成的，称为刚体位移；表面畸变是由光学元件内应力造成的，用来拟合镜面面形[13]。本文的分析对象为平板玻璃，球心位于无穷远处，故不存在偏心，只需对离焦、倾斜、畸变进行分析。有限元软件分析结果给出的节点坐标位移数据既有刚体位移又有表面畸变，要进行面形拟合就必须先去除节点坐标位移数据中的刚体位移。

本文采用齐次坐标变换法[14]去除刚体位移。假设用于计算刚体位移的参考坐标系定义在光学元件镜面顶点上，z轴与光轴重合。分别用dx、dy、dz表示刚体沿x轴、y轴、z轴的平移，分别用θx、θy、θz表示刚体绕x轴、y轴、z轴的旋转角度，通过齐次坐标变换可得刚体位移前后各相应节点间的齐次转换矩阵。一般情况下，齐次坐标变换的顺序不同，所用的齐次转换矩阵也不同，而由于旋转角度一般是微小变量，所以可以做cosθx≈1、cosθy≈1、cosθz≈1、sinθx≈θx、sinθy≈θy、sinθz≈θz近似处理，高阶小量又可以忽略。通过近似处理后，刚体位移前后各相应节点间的齐次转换矩阵与齐次坐标变换顺序无关，其坐标变换表达式可统一表示为：

(5)

式(5)可改写为:

(6)

根据式(6)，对包含有m个节点的保护窗口镜面有

Y-AX=Σ

(7)

式中，

对式(7)应用最小二乘法求解刚体位移参数X，即

X=(ATA)-1ATY,

(8)

将刚体位移参数带入式(7)，即可求得保护窗口的镜面畸变Σ。在经纬仪俯仰角为零度时，求得保护窗口刚体位移为：绕x轴偏转-0.413 μrad，绕y轴偏转-0.052 8 μrad，绕z轴偏转0.063 6 μrad，沿x轴平移-0.020 3 μm，沿y轴平移-0.793 μm，沿z轴平移-0.004 03 μm。

4.2 Zernike多项式镜面拟合算法

在光机集成分析时，需要用结构分析得到的镜面节点的变形数据拟合光学元件面形，再用光学设计软件对光学元件的成像质量进行分析。n项Zernike多项式可表示为:

W(x,y)=a1Z1(x,y)+a2Z2(x,y)+…+

anZn(x,y)=ZA,

(9)

式中，A=[a1a2…an]T为Zernike多项式系数，Z=[Z1(x,y)Z2(x,y) …Zn(x,y)]为n项Zernike多项式基底函数，现有m个节点，Wi(xi,yi)表示变形后镜面第i个节点z方向上的畸变数值，令

qij=Zj(xi,yi),

(i=1,2…m,j=1,2…n,m>n)

代入式(9)，得到矛盾方程组:

(10)

对该矛盾方程组使用QR正交分解[15]求得n项Zernike多项式系数。本文使用36项Zernike多项式进行保护窗口镜面拟合。

5 结果分析

5.1 保护窗口有限元仿真方法对比

在保护窗口面形有限元仿真分析中，螺栓联结的模拟是重点和难点。以往研究中采用直接刚性连接来模拟，但是这种简化模型会引入误差。本文采用带摩擦接触的有限元模型。在螺栓和框体、框体和压环之间设置带摩擦的接触，摩擦接触对间的法向惩罚刚度系数取为0.6，使得有限元模型自由度、刚度接近保护窗口真实状态。此外，还对比了刚性连接的仿真分析方法，使用ANSYS在24 ℃环境温度下获得两种方法的面形及应力分布云图，图3为刚性连接面形及应力图，图4为

图3 刚性连接面形及应力图 Fig.3 Contour and stress diagram of rigid joint surface

图4 摩擦接触面形及应力图 Fig.4 Contour and stress diagrams of frictional contact surface

摩擦接触面形及应力图。可见，刚性连接使得结构应力不能有效释放，镜面局部变形过大，不能反映镜面变形的真实状态，容易引入计算误差；而摩擦接触的有限元模型没有明显的应力集中，面形更加均匀，接近于镜面实际变形状态，计算结果更精确。

5.2 干涉仪检测保护窗口镜面变形实验

为了检验、对比线性刚性连接和考虑摩擦接触仿真实验的准确性，本文采用ESDI-VB干涉仪在24 ℃环境温度下检测保护窗口俯仰角为零度时镜面变形对透射波前像差的影响。在重力及螺栓预紧力作用下，镜面透射波前像差RMS值为40.626 nm，PV值235.654 nm。干涉仪检测保护窗口面形，如图5所示。

图5 保护窗口面形的干涉仪检测结果 Fig.5 Interferometer test results of contour diagram of protective window surface

5.3 基于ZEMAX评价镜面变形

保护窗口俯仰角为零度时，将面形拟合算出的36项Zernike系数导入ZEMAX软件，得到波前像差RMS、PV值。图6为刚性连接镜面波前图，其波前像差RMS为71.312 nm、PV为387.768 nm，波前像差RMS与干涉仪检测结果偏差为75.53%，波前像差PV与干涉仪检测结果偏差为64.55%。图7为考虑摩擦接触镜面波前图，其波前像差RMS为38.095 nm、PV为205.027 nm，波前像差RMS与干涉仪检测结果偏差为6.23%，波前像差PV与干涉仪检测结果偏差为13%。实验结果说明，与线性刚性连接仿真结果相比，考虑摩擦接触的仿真结果更加接近干涉仪检测结果，准确反映了保护窗口镜面变形的真实状态。

图6 刚性连接镜面波前图 Fig.6 Wave front map of rigid joint mirror

图7 摩擦接触镜面波前图 Fig.7 Wavefront map of frictional contact mirror

为了满足系统整体成像质量要求，经纬仪保护窗口波前像差RMS要小于λ/15(λ为632.8 nm)。可见，干涉仪检测和考虑摩擦接触仿真方法得到的结果都能满足系统成像质量的要求，说明该米级口径保护窗口设计合理，该摩擦接触仿真方法可用于米级口径保护窗口镜面变形分析。而刚性连接仿真方法得到的结果不能满足系统成像质量的要求，说明该方法不适用于米级口径保护窗口镜面变形分析。

6 结 论

在重力和螺栓预紧力作用下，本文采用摩擦接触的仿真方法分析米级口径保护窗口镜面变形。与线性刚性连接仿真分析相比，面形图没有显著的局部凸起和凹陷，同时应力图分布较均匀。考虑摩擦接触的仿真方法结果与干涉仪检测结果的RMS值偏差为6.23%，刚性连接仿真方法结果与干涉仪检测结果偏差为75.53%。实验结果表明，与线性分析相比，考虑摩擦接触边界条件的仿真方法能更准确地反映米级口径保护窗口镜面变形，可用于米级口径保护窗口镜面变形分析。