一种完全滤除衰减直流分量的全波傅氏改进算法

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1 引言

全波傅氏算法具有很强的滤除谐波的性能,不仅算法简单，而且稳定性好,因此在电力系统微机继电保护中得到广泛的应用。但全波傅氏算法是基于周期函数模型推导出来的,而在电力系统故障状态下,输入信号中因含有较大的衰减直流分量而不再是周期函数,为了克服衰减直流分量的影响,很多学者做了大量的研究,提出了一些相应的改进全波傅氏算法[1-10],文献[4-8]的算法都需要在基频周期采样的基础上增加若干个采样点,直接求出误差量大小，对衰减直流分量进行补偿，有些算法精度不高,有些算法十分复杂。文献[9]在不需增加采样点的情况下,也是求出误差量的大小，对衰减直流分量进行精确补偿。其实，采样的信号可看成衰减直流分量和周期信号的叠加，在取得采样序列时，若能马上求出衰减直流分量的初始值和衰减时间常数，计算出对应的每一采样点的衰减直流分量的大小，让采样的每一个点减去对应的衰减直流分量。这样对信号进行处理后，得到的采样序列就是只含基波和谐波的周期函数采样序列，可直接用于全波傅氏算法的计算，且计算量大大减小，理论上没有误差。

2 全波傅氏算法

假设采样信号具有如下形式：

(1)

式中：I0为衰减直流分量初始值；τ为衰减时间常数；In、φn分别为基波和各次谐波的幅值和初相角。

根据傅氏级数的原理，可以求得基波和各次谐波的正弦项和余弦项的表达式：

(2)

(3)

式中：T为基频分量的周期；ω为基频分量的角频率。

将式(2)、式(3)进行离散化处理可得：

(4)

(5)

式中：N为周期采样点数。

离散情况下有：

得到基波和各次谐波的幅值和初相角为：

(6)

(7)

若式(1)中不含衰减直流分量，由式(4)、式(5)得到基波和各次谐波的理想的实部和虚部：

an=Incosφn

(8)

bn=Insinφn

(9)

3 改进的算法

3.1 输入信号

假设输入信号为衰减直流分量、基频分量与整次谐波分量之和，则：

(10)

则第k次采样值可表示为：

I0ck+ia

(11)

式中,ia为交流分量，令e-Ts/τ=c，该文称c为衰减常数。

3.2 求解衰减直流分量初始值I0和衰减常数c

新算法首要目的是求出衰减直流分量初始值I0和衰减时间常数τ，然而求解衰减时间常数要用到对数运算，在微机保护算法编程中，对数运算难以实现。其实在求得衰减常数c后，就求得了衰减时间常数τ，对计算的结果没有影响。因此，只要求得衰减直流分量初始值I0和衰减常数c即可。

不少文献[8-11]都提到求解衰减直流分量初始值和的衰减常数的方法[10]的方法过于复杂。文献[11]用相似的方法滤除了衰减直流分量，但求解衰减直流分量初始值和衰减时间常数时要分三种情况，且对数运算难以实现[9]。保证每基频周期采样点数N为4的倍数的前提下，将采样点进行奇偶序列分离，偶数序列采样点之和与奇数序列采样点之和的商，既为衰减常数[8]。{i(k)|k=2,3,…,N+1}的采样点之和与{i(k)|k=1,2,…,N}[8-9]可总结一种求解衰减常数的方法：将一周期序列的采样点(奇数序列或是{i(k)|k=1,2,…,N}的采样序列)向下一个周期的方向移动一个采样间隔后，移动后的周期采样序列之和与移动前的周期采样序列之和的商，既为衰减常数c。求得衰减常数c后，很容易得到衰减直流分量初始值I0。

为了不增加采样点数目，该文用奇偶序列分离的方法求衰减常数c。假设每基频周期采样点数N为4的陪数，易证交流分量一周波积分为零，与矩形积分近似，可表示为:

(12)

因此有：

(13)

得到

(14)

再对i(k)中偶数序列进行一周波积分，N为4的倍数，所以N/2为偶数，得

(15)

由式(14)、式(15)得：

(16)

求得衰减常数c：

(17)

由式(13)得:

(18)

求得衰减直流分量初始值I0：

(19)

最后得到衰减直流分量：

h(k)=I0ck

(20)

3.3 改进算法的实现

构造只含周期分量的函数：

(21)

F(t)便是不含衰减直流分量的周期信号，可直接用于全波傅氏算法的计算。则第k次采样值为：

(22)

则基波和各次谐波的实部和虚部为：

(23)

(24)

得到基波和各次谐波的幅值和初相角：

(25)

(26)

4 仿真计算

为了验证算法的正确性和精度， 以下面的信号作为输入,对算法进行了仿真并与传统的算法及文献[5]的算法进行了比较。

i(t)=9e-t/τ+9sin(ωt+π/3)+5.1sin(2ωt+π/6)+3.4sin(3ωt+π/4)+2.7sin(4ωt+π/3)+2.1sin(5ωt)

τ=0.02s，ω=100π，取N=24，三种算法在相同的软件MATLAB下的计算结果如表1所示。

表1 算法仿真结果及比较

5 结语

本文研究的全波傅氏改进算法,在取得采样信号时就对信号进行了处理，直接求出衰减直流分量的初始值和衰减常数，得到了只含基波和各次谐波的周期函数采样序列，直接用于全波傅氏算法的计算。不像其他改进的全波傅氏算法，算出误差量的大小，对衰减直流分量的正弦、余弦分量的系数进行补偿。仿真表明，该算法在这三种算法中是最精确的，且算法简单，思路明确，具精确性和快速性，符合微机继电保护精度和速度应用的要求。