一种求解信号包络曲线端点值的新方法

马小刚，王永平，杜 历

（宁夏水利科学研究院，银川 750021）

1998年，美国宇航局的华裔科学家黄锷（N.E.Huang）博士提出在瞬时频率概念基础上用希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）处理非线性、非平稳信号，包括经验模式分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）和希尔伯特谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA）两个处理过程[1–2]。由于经EMD算法分解信号后得到的固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF）分量具有非线性，故该方法非常适合用于分析非线性、非平稳信号。然而，该方法采用三次样条插值来拟合信号数据的包络曲线，很难实现包络曲线准确到达两端边界处，由此产生分解误差，这就是所谓的“端点效应”。这种误差一旦产生，会随着分解层数的增加而增大，最终使信号的分解结果无意义[3]。Huang提出用特征波法来解决这一难题，已将该方法申请为美国宇航局专利，但他同时指出该方法仅对一些特定的信号波形有效[4]。随后，其他学者对此问题展开研究，提出一些新方法[5–20]，这些新方法对特定信号的处理结果令人满意。受镜像延拓法的启发，本文提出一种能有效抑制端点效应的新方法，从而实现对非线性、非稳定信号的分析和处理。

1 端点效应产生机理

通常端点效应的产生是由三次样条拟合信号数据包络曲线时引起，这是因为拟合包络曲线时需要用到前后两个相邻的极值点序列，如此一来就会引发信号数据的极值序列在两端边界处的取值问题，即极值序列在边界两端处既有可能是极大值点，也有可能是极小值点，还有可能是非极值点。由于是在信号数据两端边界处取值，因此，也有学者将其称之为“边界效应”问题[6–7]，如图1所示。信号曲线左端边界处的下包络曲线越过上包络曲线，出现严重失真的“端点效应”问题，而且这种误差会随着分解层数增加不断增加，将会使得分解结果误差过大。由EMD算法的筛分过程可知，第1阶IMF分量的准确与否能严重影响到后续IMF分量的准确性。如果第1阶IMF分量有较大误差，那么随着筛分层数的增加，误差会不断累积传播，将会导致用EMD算法分解信号后的结果失去意义。

图1 端点效应

2 最近一次极值法

2.1 最近一次极值法求解原理

最近一次极值镜像延拓法，可简称为“最近一次极值法”。与镜像延拓法不同，它不是利用原始信号数据波形进行镜像延拓，而是先求出原始信号的上下包络曲线，然后通过一次极值法直接求解上下包络曲线在边界两端的极值点，以此达到包络曲线能准确到达边界两端的目的，从而避免端点效应问题的产生。由于该方法是利用原始信号极值序列中离左右两端最近的一次极值作为拐点和镜像对称中心来延拓包络曲线，故将其称之为“最近一次极值镜像延拓法”，“一次极值”的含义则是指在求包络曲线时需对原始信号使用一次极值求解方法才能获得该信号的极值序列。

设离散信号

其采样步长为Δt，X(t)有M个极大值和N个极小值，对应的序列下标(Im,In)、时间(Tm,Tn)和函数值(U,V)记为

若要利用最近一次极值法来延拓原始信号的极值序列，一般有如下几种情况需要讨论。

（1）信号序列左端边界

令左端需要延拓的极值点数为p，则

Tm(-p+1)、Tm(-p+2)、…、Tm(0)为左端延拓的极大值点所对应的时间，xm(-p+1)、xm(-p+2)、…、xm(0)为左端延拓的极大值点所对应的函数值；Tn(-p+1)、Tn(-p+2)、…、Tn(0)为左端延拓的极小值点所对应的时间，xn(-p+1)、xn(-p+2)、…、xn(0)为左端延拓的极小值点所对应的函数值。

（2）信号序列右端边界

令右端需要延拓的极值点数为q，则为右端延拓的极大值点所对应的时间，为右端延拓的极大值点所对应的函数值；为右端延拓的极小值点所对应的时间为右端延拓的极小值点所对应的函数值。

综上所述，最近一次极值法的主要思想和基本原理为：充分利用原始信号局部波形在其边界附近拐点处的自然走向插补延展极值序列在边界端点处的取值，旨在确保极值序列能准确到达边界两端。由于采用的是真实存在的波形拐点来顺延极值序列，故延拓部分的波形趋势能严格遵循信号序列的发展趋势，从而避免端点效应的产生。

2.2 最近一次极值法算法步骤

原始信号的极值序列到达两端边界处的延拓应当包括对其上下包络曲线左右两端共计四个极值点的求解，下面以一个非线性、周期性信号x(t)为例，对利用最近一次极值法求解其左端边界值的具体过程进行介绍。

设原始信号为x(t)：

（1）先求出原始信号x(t)的所有极小值点如图2中的黑色“+”点所示，由于这些极小值点是第一次求出的，为了以示区别称其为一次极小值点

（6）求出水平距离（横坐标值）tm后，以中心对称轴为镜像轴找出水平距离（横坐标值）tm在中心对称轴右侧的镜像水平距离（横坐标轴）tp，即tp=2tm；

（7）过镜像水平距离（横坐标值）tp做垂直于横坐标轴并平行于纵坐标轴的垂线Lυ，且该垂线与已求出的下包络曲线相交于一点P′(tp,xp)，该点即为下包络曲线左端点P(t1,xp)关于中心对称轴的镜像点P′(tp,xp)；

（8）再过刚求出的镜像点P′(tp,xp)做垂直于纵坐标轴并平行于横坐标轴的水平线Lh，该水平线与纵坐标轴交于一点P(t1,xp)，该点即为所求的信号下包络曲线延拓至左端点处的端点值。

需要进一步指出的是：由于信号x(t)具有周期性，依据该信号的周期重复性，可知图2中的Pr应该就是该信号x(t)下包络曲线延拓至左边界处的精确解，而从图2上也能直观地发现该精确解Pr与用最近一次极值法求出的端点值P恰好是重合的，这也就充分证明了利用最近一次极值法所求信号x(t)的包络曲线在边界处端点值的有效性和准确性。

图2 根据最近一次极值法求端点值

3 仿真算例

对一仿真信号x(t)先用最近一次极值法进行延拓处理，然后再进行EMD分解，并与其它延拓方法的EMD分解结果相比较[8–13]，以此来探讨最近一次极值法能否有效抑制端点效应的产生。

设仿真信号x(t)由频率为120 Hz的余弦信号和基频为20 Hz、调频为10 Hz的调幅调频信号叠加而成，具体形式如式（39）所示。

其中，采样频率Fs=1 000Hz。原始信号及其组成分量如图3所示。

下面依次使用偶延拓EMD算法（Even Extension of EMD，EE-EMD）、镜像延拓EMD算法（Mirror Extension of EMD，ME-EMD）、周期延拓EMD算法（Periodic Extension of EMD，PE-EMD）、最近一次极值EMD算法（The Nearest Simple Extreme Mirror Extension of EMD，NSEME-EMD）分解仿真信号x(t)，分解时间依次为0.172 s、0.219 s、0.344 s、0.547 s，结果见图4和图5。

图4所示的IMF1对应于余弦信号cos(120 πt)分量，IMF2对应于调幅调频信号(1+0.2sin(10 πt))·cos(40 πt+0.5sin(20 πt))分量，残余分量Res可视为EMD算法筛分过程中所产生的分解误差。

图5所示的error1表示分解出的IMF1分量与余弦信号cos(120 πt)分量之间的误差，error2表示分解出的IMF2分量与余弦信号分量之间的误差。由图4和图5可知：EE-EMD算法对端点效应的抑制效果较差，ME-EMD算法对端点效应的抑制效果稍好，PE-EMD算法对端点效应的抑制效果较好，NSEME-EMD算法对端点效应的抑制效果最好。

为了准确评价上述四种EMD算法的分解精度，此处采用基于能量的评价指标θi进行计算分析[5,9,16,18]

图3 原始信号及其组成分量

其中：θi为第i个IMF的评价指标；RMSi和RMSre为分解得到的第i个IMF和相应真实值的有效值。

RMS按下式计算

其中m为信号的采样点数；s(j)为信号序列。

通过式（40）可知计算得出的θi≥0 ，如果θi=0，则说明端点效应对EMD分解无影响；如果θi＞0，则说明端点效应对EMD分解有影响，并且θi值越大影响也越大。

四种EMD算法分解仿真信号的性能评价指标计算结果见表1。

表1 性能评价指标计算结果表/(%)

由表1可知：四种EMD算法的性能指标计算结果从大到小按序排为EE-EMD>ME-EMD>PE-EMD>NSEME-EMD，换句话说，EE-EMD算法在分解复杂信号x(t)的过程中造成的能量泄露最大，对信号序列x(t)的分解精度最低，ME-EMD算法和PEEMD算法在分解复杂信号x(t)的过程中造成的能量泄露较小，对信号序列x(t)的分解精度较低，而本文提出的NSEME-EMD算法在分解复杂信号x(t)的过程中造成的能量泄露最小，对信号序列x(t)的分解精度最高。

图4 基于四种EMD算法的分解结果

图5 根据四种EMD算法得到的IMF分量的误差

4 应用实例

通过仿真实例验证了最近一次极值法能有效抑制端点效应，故将其应用到实际泵站厂房结构振动监测信号的分析中去。对宁夏新海水务有限公司同心分公司三泵站的厂房结构进行振动监测，从现场采集到的振动信号中选取一条采样频率为1 000 Hz、时长为2 s的竖向加速度响应信号的时程数据序列进行分析，如图6所示。

分别采用Huang提出的传统EMD方法和本文提出的最近一次极值法对该加速度响应信号进行分解，具体分解结果见图7。

经计算，采用传统EMD方法分解得到前5阶各个IMF分量相对应的性能评价指标θ1～θ5分别为2.576%、3.864%、6.182%、10.510%、18.918%，而采用最近一次极值法分解得到的前5阶各个IMF分量相对应的性能评价指标θ1～θ5分别为1.989%、2.486%、3.232%、4.363%、6.109%，由此可见相比于传统EMD方法，最近一次极值法对振动信号的分解精度高，能量泄漏少，对端点效应的抑制效果好。

图6 实测竖向加速度响应信号时程数据序列

图7 实测竖向加速度响应信号分解结果

5 结语

（1）通过最近一次极值法得到的边界端点值能较好匹配原始信号在边界附近的自然走向，实现原始信号在边界端点处的光滑过渡，有效降低原始信号极值点在边界处的波动，从原理上来说不失为一种解决端点效应的好方法。

（2）通过仿真算例和应用实例对最近一次极值法的分解性能进行对比分析，结果表明该方法能有效解决端点效应问题，同时具有简单易行、适应性强、通用性好等特点。