双基地角时变下的ISAR稀疏孔径自聚焦成像

朱晓秀，胡文华，马俊涛，郭宝锋，薛东方

陆军工程大学(石家庄校区) 电子与光学工程系，石家庄 050003

双基地逆合成孔径雷达(Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR)是发射站和接收站分开放置的ISAR系统[1-2]，不仅能够克服单基地ISAR成像中存在的几何盲区问题，而且具有探测距离远、隐身性能好、抗干扰能力强及获取信息丰富等优势，成为现代雷达技术研究热点之一[3]。由于双基地角的存在，其成像分辨率比相应的单基地雷达低，时变的双基地角还容易引起越分辨单元徙动和图像畸变等问题[4]，影响成像质量。另外，在雷达成像时，通常需要不断切换波束指向对多目标进行多视角观测，对单个目标而言，其方位孔径可能存在不连续性，当外界存在干扰导致某些回波数据误差较大需要被剔除时，也会形成稀疏孔径[5-8]。由于孔径的缺失，经传统的平动初补偿后，回波数据中仍可能存在残余的空变相位误差，导致图像散焦[9]。在双基地角时变和稀疏孔径的条件下，直接利用传统的距离-多普勒(Range-Doppler, RD)算法会引起较高的旁瓣和能量泄漏，导致图像散焦、分辨率低，因此有必要研究高分辨成像算法。

由于ISAR图像有很强的空域稀疏性[10-11]，不少学者将压缩感知(Compressive Sensing，CS)理论[12]应用到ISAR成像中，实现了单基地ISAR高分辨成像。文献[13]假设目标图像各像元稀疏同分布，将ISAR图像重构和相位误差校正问题转化为基于l1范数稀疏约束最优化问题，文献[14]将该方法应用到稀疏孔径当中，实现了ISAR稀疏孔径自聚焦高分辨成像。文献[15]假设像元稀疏非同分布，提出了一种基于加权l1范数稀疏约束最优化算法，能更好地实现目标图像重构和相位自聚焦，提高了成像质量。但该类算法只利用了目标图像的稀疏特性，有时候不能获得最优稀疏解，且求解时涉及二维数据矢量化的操作，运算复杂度大。贝叶斯压缩感知(Bayesian Compressive Sensing，BCS)[16]理论将贝叶斯推理与压缩感知相结合，在利用目标图像先验信息的同时考虑了图像的整体结构信息和噪声统计信息，能够求得更优的稀疏解。文献[17]假设目标图像服从Gaussian先验建立稀疏先验模型，利用贝叶斯推理进行求解，提出了基于稀疏贝叶斯学习(Sparse Bayesian Learning，SBL)的高分辨成像算法，相比于基于l1范数稀疏约束算法能进一步提高成像质量，文献[18]在此基础上，考虑了相位误差，实现了自聚焦高分辨成像。但该类算法一般在实数域进行求解，在求解时需要先将复数回波信号转为实数，增加了数据存储量和运算复杂度。若双基地角恒定，可将单基地中的成像算法直接应用到双基地中，但双基地角一般是时变的，存在一定的多普勒偏移可能引起越分辨单元徙动和图像畸变等问题，影响成像质量。

综上所述，在双基地角时变以及方位向稀疏孔径的情况下，双基地ISAR成像存在图像散焦、分辨率低等问题，相应的算法也存在稀疏效果不强、运算效率低等问题，基于此，本文提出了一种基于复BCS的双基地ISAR稀疏孔径自聚焦成像算法。该算法以平动补偿后的二维数据为基础，先构造补偿相位将产生多普勒偏移的项补偿掉，再根据变化的双基地角和累积转角构造稀疏基矩阵，将回波模型表示成符合CS理论的矩阵形式。在BCS理论中，Laplace先验比Gaussian先验具有更强的稀疏促进作用[19]，所以本文假设目标图像各像元服从复Laplace先验建立稀疏先验模型，将相位误差作为模型误差，利用贝叶斯推理通过迭代交替求得目标图像和相位误差，最后得到高精度的双基地ISAR自聚焦图像。求解时直接在复数域进行贝叶斯推理，通过“分布式”计算的方法将距离维和方位维进行分维处理，先逐距离单元处理实现目标图像重构，再逐脉冲处理实现相位误差更新，避免了将复数信号转换为实数以及将二维矩阵矢量化处理，提高了运算效率。在不同相位误差形式、不同孔径缺失情况和不同信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)的条件下，仿真实验验证了算法的有效性和优越性。

1 双基地ISAR成像模型

1.1 几何模型

假设目标运动轨迹与收发双站在同一平面上，建立双基地ISAR成像几何模型如图1所示，发射站雷达为T，接收站雷达为R，基线长度为L，点E为等效单基地雷达位置。假设目标以速度V做匀速运动，成像起始时刻为t1，双基地角为β1，以目标质心点O1为原点，双基地角平分线方向为y1轴建立右手直角坐标系x1O1y1，散射点P1在x1O1y1坐标系中的坐标为(xP,yP)，设O1P1长度为d，与x1轴夹角为α1，目标质心O1到发射站、接收站的距离分为记为Rt1、Rr1，散射点P1到发射站、接收站的距离分别记为RtP1、RrP1。在tm时刻，目标质心运动至Om点，此时的双基地角为βm，等效单基地雷达视角变化为θm，可以看作是由坐标系x1O1y1旋转得到坐标系xmOmym的旋转角度。同样以目标质心Om为原点，双基地角平分线方向为ym轴建立右手直角坐标系xmOmym，散射点由P1运动至Pm，OmPm与xm轴夹角为αm且αm=θm+α1，目标质心Om到发射站、接收站的距离分别记为Rtm、Rrm，散射点Pm到发射站、接收站的距离分别记为RtPm、RrPm。

图1 双基地ISAR成像几何模型Fig.1 Geometry model of bistatic ISAR imaging

1.2 信号模型

假设发射站雷达以脉冲重复周期Tr发射线性调频信号

(1)

(2)

式中：c为光速。

(3)

(4)

式中：ΔRPm为散射点到收发双站的距离与目标质心到收发双站的距离之差，表示为

(5)

假设在观测范围内累积转角变化很小，可近似为：sinθ(tm)≈θ(tm)，cosθ(tm)≈1，将式(5)代入式(4)，则一维距离像可近似为

(6)

1.3 多普勒偏移相位补偿

(7)

由式(7)可知，最后近似结果中的第一项与xP有关，用于提取散射点的多普勒信息，进行方位向高分辨，第二项与yP有关，将会引起图像畸变，且畸变量与距离坐标成正比，也有可能引起多普勒徙动，由于该项是由式(6)相位中的第二项引起的，因此先构造相应的补偿相位将该项补偿掉，构造的补偿项为

(8)

则相位补偿后的一维距离像为

(9)

2 基于CS的自聚焦成像模型

2.1 稀疏基矩阵的构造

(10)

(11)

由于收发双站的位置是固定已知的，即双基地基线距离已知，并且雷达都具有测距功能，相当于各脉冲时刻目标到收发双站的距离也是已知的，双基地角就可以利用简单的三角几何关系计算出来，并且测距精度对稀疏矩阵的影响很小。因此，可将稀疏基矩阵Fall构造为

(12)

2.2 双基地ISAR回波的稀疏表示

考虑到实际有噪声的存在，将式(10)的回波数据用矩阵形式表示为

Sall=FallA+ε0

(13)

式中：Sall表示经过运动补偿和相位补偿后的全孔径二维回波数据，共包含L个回波脉冲，N个距离单元；ε0为L×N维噪声矩阵；Fall表示L×M维的横向稀疏基矩阵，当M=L时，可得到高分辨ISAR图像，当M>L时，算法可以实现超分辨，超分辨倍数为M/L；A表示需要求解的ISAR超分辨二维图像，每一个元素对应散射点的复幅度。

2.3 稀疏孔径条件下的自聚焦成像模型

在稀疏孔径的情况下，数据可能存在随机缺失和块缺失两种缺失形式，其稀疏孔径模型示意图如图2所示，其中黑色表示缺失孔径数据，白色表示有效孔径数据。假设S为融合的有效孔径回波数据，共包含K(K

SK×N=TK×LSall=TFallA+ε=FA+ε

(14)

式中：T为有效数据选择矩阵，具有去除缺失孔径、合并有效孔径的作用；F为在稀疏基矩阵Fall中去除缺失孔径对应行后形成的K×M维部分稀疏基矩阵；ε为K×N维复噪声矩阵。

图2 两种稀疏孔径模型Fig.2 Two models of sparse aperture

假设ISAR回波信号经距离维脉冲压缩之后，已经做过包络对齐和相位校正的平动初补偿处理，但由于孔径缺失导致在传统的相位校正方法后仍可能存在残余的空变相位误差，影响方位向成像处理。因此，考虑到相位误差的存在，可将式(14)改写为

S=EFA+ε

(15)

式中：E=[diag(ejφ1,ejφ2,…,ejφK)]K×K为相位误差矩阵，φk为第k个回波包含的残余相位。

3 基于Laplace先验的复BCS求解

在BCS框架下的稀疏信号恢复算法一般假设涉及的数据为实数，但在雷达成像时，回波信号为复数，简单的解决算法是将复数信号分解为实部和虚部两部分，即把复数表达式转换为实数形式，但这样不仅会增加数据的存储量和计算量，而且该算法将信号的实部和虚部视为两个独立的分量，对它们分别进行稀疏估计，由于重构过程相互独立，存在的估计误差必然会影响复数相位，进而影响后续的相位自聚焦过程，所以算法性能还有待提升。因此，本文研究了一种直接在复数域处理的基于BCS的双基地ISAR稀疏孔径自聚焦成像算法，对实部和虚部采用了相同的权约束，即直接对该复数像元的模进行约束，因此在重构过程中可以保留像元的相位关系，更有利于算法的自聚焦过程，与传统的算法相比，不仅降低了计算量，而且还可以提高重构性能。

3.1 目标图像超参数模型

3.1.1 噪声统计模型

假设ε是复高斯白噪声，其虚部和实部分别独立服从方差为σ2的实高斯分布，则回波信号的似然函数为

P(S|A,σ2)=

(16)

对σ-2再施加Gamma先验，利用超参数进行约束，即

p(σ-2)=Gamma(σ-2|c,d)

(17)

3.1.2 目标图像稀疏先验模型

(18)

式中：αij≥0、λ≥0。为限制超参数λ的取值范围，引入超参数ξ对λ施加Gamma先验分布：

p(λ|ξ)=Γ(λ|ξ/2,ξ/2)

(19)

因此，通过式(18)和式(19)可知，Laplace先验实际上等价于三层贝叶斯概率模型，即通过ξ→λ→αij→aij依次实现对像元aij的稀疏先验，不同的像元使用不同的α体现一种独立约束关系，而所有α都服从相同指数分布。

3.2 目标图像重构

为方便求解，只考虑某一特定距离单元数据S·n，则式(15)可表示为

EHS·n=FA·n+ε·n

(20)

式中：EHS·n表示相位误差补偿后的回波数据。若超参数αn、λ、σ2已知，则利用噪声和目标图像的稀疏先验信息，根据贝叶斯准则，p(A·n|EHS·n,αn,λ,σ2)可看做是服从均值为μn、协方差为Σn-λ的复高斯分布[19]，且

μn=σ-2Σn-λFHEHS·n

(21)

Σn-λ=(σ-2FHF+Λn)-1

(22)

要得到重构的目标图像，就必须先进行超参数αn、λ、σ2的求解。由于p(αn,λ,σ2|EHS·n)=p(α,λ,σ2,EHS·n)/p(EHS·n)，故p(αn,λ,σ2|EHS·n)∝p(α,λ,σ2,EHS·n)，通过最大化联合分布p(α,λ,σ2,EHS·n)就可估计出超参数αn,λ,σ2。根据贝叶斯准则，有

p(α,λ,σ2,EHS·n)=

p(α|λ)p(λ)p(σ2)dA·n=

p(α|λ)p(λ)p(σ2)

(23)

L=lgp(α,λ,σ2,EHS·n)=

(24)

利用求导的方式求解超参数，即利用式(24)分别对lgαin、σ-2和λ求偏导等于零且取正值，可

得到超参数αin、σ2和λ的更新公式为

(25)

(26)

(27)

为计算简便，令ξ→0[19]，将式(27)代入式(25) 可得

(28)

(29)

(30)

3.3 相位误差更新补偿

(31)

(32)

4 成像算法流程

假设原始回波数据经过了脉冲压缩处理，并做包络对齐和初相校正后得到了一维距离像，在此基础上利用所提算法仅在方位向实现稀疏孔径重构成像。根据式(32)，要实现相位自聚焦，就需要在每次迭代中利用所有距离单元的回波数据，因此每次迭代时必须得到整个二维像的结果。传统的求解算法通常采用矩阵矢量化的操作[14]，即将二维回波数据逐距离单元拉直为一维矢量，则式(15)可表示为

(33)

步骤1双基地ISAR原始回波经脉冲压缩，并做包络对齐和初相校正后得到一维距离像，为解决双基地角时变带来的多普勒频移问题，构造补偿相位，得到补偿后的二维回波数据Sall。

步骤2利用数据选择矩阵T，去除缺失孔径，合并有效孔径，得到包含残余相位误差的方位向稀疏孔径二维回波数据S。

步骤3构造稀疏基矩阵F，初始化超参数αin=1，σ2=0.01，初始化E=IK，g=1，设定总迭代次数G和门限eps。

步骤4进行相位误差补偿，得到补偿后的回波数据Scom=EHS。

步骤6重构的目标图像为

利用本文算法逐距离单元进行目标图像重构时，对于某一距离单元，F是K×M维矩阵，Λn和Σn-λ是M×M维矩阵，EH是K×K维矩阵，S·n是K×1维矩阵，根据式(21)和式(22)，则σ-2FHF的计算量为O(KM2)，Σn-λFHEHS·n的计算量为O(KM2+MK2+MK)，所以更新Σn-λ的计算量为O(M3+KM2)，更新μn的计算量为O(KM2+MK2+MK)，则本文算法一次迭代中处理N个距离单元实现目标图像重构的总计算量为O(NM3+2NKM2+NMK2+NMK)，相比于传统算法的O(N2(NM3+2NKM2+NMK2+MK))要小很多，可有效提高运算效率。

5 仿真实验与分析

本文仿真实验环境为Windows 7 64位操作系统，MATLAB2016A软件平台，仿真所用计算机主要参数为：处理器为Intel酷睿i5-6200U，主频为2.30 GHz，内存为4 GB。本部分通过仿真实验从不同的相位误差形式、回波SNR和孔径缺失情形这3个方面对本文算法性能进行验证。为方便直观比较算法性能，采用目标背景比(Target-to-Background Ratio，TBR)和图像熵En作为衡量标准，其定义可表示为

5.1 仿真场景和参数设置

双基地ISAR仿真场景如图3(a)所示，目标的散射点模型如图3(b)所示，该模型由96个散射点组成，成像的仿真参数设置如表1所示。假设双基地基线长度为400 km，目标在300 km的高度以3 km/s的速度从水平距离距发射站雷达靠左50 km处开始匀速向右运动，假设总观测时间为200 s，观测时间内双基地角变化曲线如图4所示。从图中可以看出，在观测时间内，只有一部分时间内双基地角变化较小，大多数情况下双基地角变化较大。为体现双基地ISAR成像过程中双基地角的时变特性，以水平距离距接收站雷达靠右70 km处为成像起点，截取400个脉冲回波数据为成像段数据，如图4中粗线段所示，该观测时间内累积转角约为5.39°，平均双基地角约为41.38°。考虑成像段结束时刻，此时对应的双基地角为38.46°，累积转角为5.39°，载频fc为10 GHz，yP取最大值9 m，由于误差相位数量级要求一般与λ/8相比拟，根据式(8)，若考虑补偿的相位误差在λ/8范围内，则计算出双基角范围可在(38.38°,38.54°)内，即双基地角误差为Δβ=±0.08°，此时利用雷达双站与目标的三角关系可以计算出允许的测距误差范围约为Δx=±3.02 m，雷达测距精度能够满足该要求。

图3 仿真场景和散射点模型Fig.3 Simulation scene and scattering point model

表1 成像参数设置Table 1 Imaging parameters setting

图4 双基地角变化曲线Fig.4 Variation curve of bistatic angle

5.2 不同相位误差形式下性能验证

在全孔径条件下，通过对预处理(包络对齐和初相校正)后的回波添加不同形式的相位误差，在低SNR条件下验证算法的自聚焦性能。不同形式的相位误差可能会影响算法迭代的收敛性，进而影响成像结果，特别是低SNR条件下对算法性能要求比较高，否则无法得到良好的聚焦图像。因此，有必要在不同的相位误差条件下进行仿真实验，验证算法的有效性。

在本实验中，为回波数据添加3种不同形式的相位误差，以验证不同运动形式下的算法性能。① 二次相位误差，主要用于分析由高速运动引起的相位误差时算法的性能；② 正余弦相位误差，主要用于分析由复杂运动引起的相位误差时算法的性能；③ 随机相位误差，主要用于分析在由外界干扰或其他不定因素引起的相位误差时算法的性能。为进一步验证算法在低SNR条件下的成像性能，设置SNR为5 dB，比较算法在3种不同的相位误差形式下的自聚焦性能。应用本文算法进行自聚焦成像时，总迭代次数设为20。添加的相位误差形式及其成像结果如图5所示，其中，图5(a)～图5(c)表示二次相位误差及利用相位梯度自聚焦(Phase Gradient Autofocus，PGA)算法后直接FFT成像结果和本文算法的成像结果，图5(d)～图5(f)表示二次正余弦相位误差及利用PGA算法和本文算法的自聚焦成像结果，图5(g)～图5(i)表示随机相位误差及利用PGA算法和本文算法的自聚焦成像结果。从图中可以看出，在3种 不同形式的相位误差条件下，PGA算法虽有一定的自聚焦效果，但低SNR条件下对噪声的抑制效果不强，存在的噪点严重影响了成像质量，而本文算法不仅具有良好的聚焦性能，而且能够很好地抑制噪声，得到较好的自聚焦成像效果，说明该算法的适用性和鲁棒性较强，可在低SNR的情况应用，且应用时不用考虑相位误差的具体形式。

图5 不同相位误差形式及其成像结果Fig.5 Different phase error forms and imaging results

另外，从表2的成像衡量指标中还可看出，本文算法所得图像的TBR值在二次相位误差条件下最大，随机相位误差条件下最小，熵值则相反，说明本文算法虽在3种不同相位误差形式下均能较好地实现自聚焦，但随机相位误差对算法性能要求略高于其他2种误差。

表2 不同相位误差形式下的算法成像指标对比

5.3 不同孔径缺失情形下算法性能验证

在稀疏孔径条件下，通过改变孔径缺失情形，将本文算法与基于l1范数稀疏约束的自聚焦算法和基于SBL的自聚焦算法的成像结果进行对比，验证算法在稀疏孔径条件下的有效性和优越性。本实验主要研究孔径缺失较多的4种缺失情形下的成像结果，在SNR为10 dB下，为回波数据添加幅度浮动在-π～π的随机相位误差，4种缺失情形分别是50%数据随机缺失、75%数据随机缺失、50%数据块缺失和75%数据块缺失，孔径缺失位置和对应的RD算法成像结果如图6所示。3种 不同的高分辨算法下的成像结果如图7所示，其中，图7(a)～图7(c)为50%数据随机缺失时3种算法的成像结果，图7(d)～图7(f)为75%数据随机缺失时3种算法的成像结果，图7(g)～图7(i) 为50%数据块缺失时3种算法的成像结果，图7(j)～图7(l)为75%数据块缺失时3种算法的成像结果，具体的评价指标数据如表3所示。在添加的随机误差范围为-π～π时，从成像结果可以看出，当数据缺失率为50%时，3种算法都能重构出目标图像轮廓，但基于l1范数稀疏约束算法将会丢失目标的一些细节信息，基于SBL算法存在一些虚假点影响成像质量，而本文算法能够得到清晰的目标图像。随着孔径缺失数据增加，特别是当缺失孔径数为全孔径的75%时，基于SBL算法成像质量迅速下降，与基于l1范数稀疏约束算法所恢复出的目标图像轮廓不清晰，有散射点缺失、出现虚假散射点和噪声抑制效果差的现象存在，自聚焦效果有所下降，但本文算法仍能重构出清晰的高质量目标图像。从表3中的数据还可以看出，在同一孔径缺失条件下，本文算法所得图像的熵值最小，TBR值最大，而基于l1范数稀疏约束算法所得图像的熵值最大，TBR值最小，这也说明了本文算法成像效果最好，其次是基于SBL算法，基于l1范数稀疏约束算法相比来说成像质量较差。另外，在同样多的有效数据情况下，可以看出数据随机缺失比块缺失时成像质量要好，这是由于数据块缺失所破坏的回波信号之间的相干性更大，导致恢复起来比较困难。在块缺失数据为75%时，本文算法与其他2种算法相比仍能较好地恢复出目标图像，说明了本文算法的优越性。

图6 4种孔径缺失情况及其RD成像结果Fig.6 Four sparse aperture cases and RD imaging results

图7 4种孔径缺失情况下3种算法成像结果Fig.7 Results of imaging with three algorithms in four sparse aperture cases

表3 不同孔径缺失情况下的算法成像指标对比

5.4 不同SNR条件下算法性能验证

为验证算法在不同SNR条件下的成像性能，在方位向数据随机缺失比为50%的情况下，利用基于l1范数稀疏约束的自聚焦算法、基于SBL的自聚焦算法和本文算法在不同SNR条件下进行稀疏孔径成像，并画出重构图像的图像熵和TBR随SNR的变化曲线，如图8所示。从变化曲线图可以看出，在同一SNR条件下，相较于其他2种算法，利用本文算法所得图像的熵值最小、TBR值最大，说明本文算法比其他2种算法的成像质量要好。另外，随着SNR降低，虽然3种算法的成像结果的熵值都有所增大、TBR值有所减小，但本文算法变化较小，说明SNR对本文算法的影响较小，即本文算法在低SNR条件下仍然适用。

图8 成像质量随SNR变化曲线Fig.8 Curves of variation of imaging quality with SNR

6 结 论

1) 构造了元素随双基地角和累积转角变化的稀疏基矩阵，更符合信号特性，有利于信号重构。

2) 直接在复数域进行基于Laplace先验的贝叶斯推理，不仅减少了运算量，而且保留了复数信号的相位关系，有利于提高算法的相位自聚焦性能。

3) 采用“分布式”计算方法先逐距离单元再逐脉冲进行求解，实现目标重构和相位自聚焦，避免了传统求解方法中将二维矩阵矢量化处理所带来的运算复杂度高和数据存储量大的问题，提高了运算效率。

但是，论文未考虑目标轨迹与雷达站不共面的情况，在这种情况下算法能否依然适用以及适用的边界条件还需要进一步研究。