数形结合思想在初中数学教学中的应用探究

陈志勇

“数”与“形”是数学研究的两大基本对象.在初中阶段的数学课程中，“数”与“形”关系紧密，因此数形结合思想在数学学习中占有重要地位.数形结合能将抽象的数量关系与具体的几何关系联系起來，实现抽象思维与形象思维的相互转化以及解题程序的简化，最终达到优化数学解题思路的目的.数形结合思想应用于初中数学教学阶段益处多多：对于教师而言，这种思想能帮助学生找出更快更高效的解题思路，提升数学教学的成效；对于学生而言，数形结合思想能帮助学生理解数学题目，能有效增强学生对数学学习的自信心.

一、以形助数，将数量关系具现化

“以形助数”的核心思想在于将数量关系转化为图形关系，在初中数学教学过程中，一般可以通过平面几何知识或解析几何知识来实现.具体的“以形助数”教学思路包括以下几个具体步骤：首先，教师引导学生关注题干中的已知条件及所求问题，这是解决所有数学题型的基础；其次，通过已知条件及问题带领学生进行相关数学理论的回顾，确定具有适用性的几何概念或图形表达；最后，做出与题干相符的图形，利用该图形的性质及几何意义解决所求问题.这一教学过程不但使抽象的数学教学过程更加直观化，还能帮助学生更深入地掌握数学知识.

以七年级上第二章《有理数》这一章节的教学实践为例，笔者在教学过程中引入了这样一个例题：求解函数y=|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.在教学过程中笔者引导学生将这个例题中的|x+1|、|x-2|和|x-3|理解为数轴上x与-1、2和3这三个点的距离，如下图所示：

假设数轴上表示数-1，2，3以及x的点分别为A，B，C，P，其中P为动点，因此原函数式可以简化为P点到A，B，C三点的距离之和，即y=PA+PB+PC.P点在数轴上移动时学生很容易就观察出当P点与B点重合时，PA+PB+PC的值最小，因此可以求解出y的最小值为AB+BC=4.数形结合思想可以帮助学习建立对数学理论的直观印象，从而提升数学教学的有效性.

二、以数助形，简化复杂的图形计算

数量关系的研究贯穿于整个数学学习的过程之中，与数相比，图形更具有形象直观的特点，但在对图形关系的确定过程中经常需要运用数量关系，尤其是针对较为复杂的图形，不仅需要准确找出图形中对应的数量，还需要观察图形本身的特点，将图形本身的性质或几何意义转化为数量关系，从而实现图形的数量计算，“以数助形”的教学过程不仅能帮助学生强化数量关系的理解认知，还能扩展学生的思维，显著提高学生分析问题和解决问题的能力

例如，在进行《反比例函数》这一章节的学习时，笔者引入了这样一个问题：“已知正比例函数的表达式为y=kx，反比例函数为y=5-kx，以上函数式中k为常数且不为0，这两个函数的图象在直角坐标系上有一个横坐标为2的交点，求两个函数图象的交点坐标，并以图象形式表示”.本题中最为关键的问题在于k值的求解，根据已知条件，代入可以得到k=1.将k代入可以得到正比例函数和反比例函数的表达式.再根据横坐标为2的已知条件，最终求得交点坐标分别为（2，2）和（-2，-2），从而在坐标系中画出两个函数的图象.

三、数形结合，提升学生对数量关系及图形关

系的综合运用能力

以形助数、以数助形只是数形结合思想的两个具体运用方向，在实际教学过程中常常需要对这两个方面进行综合运用，先从图形确定数量关系后，再通过数量关系解决图形问题，两者密不可分.

例如，在二次函数的教学过程中，笔者首先通过y=ax2这一最为基础典型的二次函数式及其对应的图形让学生形成对二次函数的初步认识，接着笔者将这个二次函数图形向左平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度后形成了一个新的函数式y=a（x+h）2+k，最后通过对这个新函数式的展开，得到了二次函数的基本表达式y=ax2+bx+c.在对二次函数的推导过程中，不仅帮助学生深入了解了二次函数图形的基本内涵，还有助于学生在面对二次函数题型时，灵活运用数形结合的综合性思想解答题目.