巧用模拟题梳理导数解题方法

王曼铃

摘 要 在高考之中导数是相当重要的考点内容，同时其也是学生学习更加高深数学知识的重要基础。但是学生掌握起来却存在一定的困难，因此解题时也很难确保正确率。模拟题是重要的学习资源。在文中就如何通过模拟题来梳理导数解题方法进行探讨。

关键词 导数；模拟题；解题方法

中图分类号：D045 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）06-0002-02

在高考试卷中，导数题始终是当之无愧的杀手锏。首先是因为其本身的内容繁杂，学生不易抓住知识的主线和重点；其次，试题形式变幻莫测，考察方式灵活，十分考验学生高中数学的学习功底。因此，导数题一直是学生解题最困难的地方。

但是，导数的学习并非无迹可寻，笔者认为教师在教学中可以根据试题的类型和难度，将常规题目进行分类，进而针对每一类别分析常规策略，帮助学生提高导数的解题能力，增强学生的学习信心；同时培养学生归纳总结的能力，进而更好地应对高考。

下面是2018年东北三省三校第二次模拟考试的第12题，考察的是利用导数求参数范围的问题。由于学生对于函数及方程等概念理解不透彻，导致对此题目望而却步。然而，此题型其实属于导数的常规问题，下面笔者将以此题目为载体，示范解决参数范围问题的三种常规方法，以便学生夯实基础，快速解决问题。

题目：已知当 时：关于 的方程 有唯一实数解，则 值所在的范围是（ ）

A. B. C. D.

视角1：分离参数法

解法1：将 整理

得 ，

由于 ，所以 故 。令 ，则 ，

，

由于 ，故 恒成立， 在定义域内单调递增。由 ， 。

所以 。①

且当 时， ；当 时， 。所以，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增。因此， 是 的最小值点。所以， 由①知， ，

。所以， 的范围为 。

评注：此方法的关键是在分离参数之后，利用导数思想来找出 的最小值，难点在于 的最小值不是可以求出的确定数，需要通过零点存在性定理来判断最小值点 的范围，这是解决综合性题目的一种重要手段。

视角2：直接求导法

解法2：将 整理得

，即 。

问题转化为 在 时只有一个零点。 ，当 时， 。且当 时， ；且当 时， 。

当 时， ，当 时， 单调递增， ，所以无零点。当 时， ，当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增。所以， 由于 在 时只有一个零点，所以 。

设 ，

则 ， 单调递增。 ， 的范围为 。

评注：学生需要具备利用导数确定函数单调性的能力，由于此题自变量 的限制，解题中要将极值点 与1的大小进行比较，来确定函数在定义域内的单调性。关于 范围的讨论是本题的关键点，需要学生重视和练习。

视角3：图象观察法

解法3：原式可整理为

设 。则当 时， 有唯一实数解等价于 图象只有一个交点。 得 ，且当 时， ；当 时， 。所以 为极小值，也是最小值。 。当 时，由洛必达法则， ；当 时， 。所以， 的图象如图所示：

过定点 ，则依题意可知直线与曲线相切。设切点为 ， ，过点 的切线方程为

，将 代入化简得 。令 ，

则

由于 ，所以 恒成立。因此， 在定义域内单调递减。由于 ， 。所以 。

， 。

评注：图象法是解决函数问题最直观的方法。此题我们可以将原方程分离成两个函数，将问题转换成求两个函数交点个数的问题。此方法的难点在于曲线相切位置的确定，充分考查了学生对于导数几何意义的理解。同时，可以培养学生数形结合的能力。

通过对一道导数选择题的思考，既总结了解决导数问题的一般方法，也让学生们体会了多种高中数学解题所需的技巧与策略，复习了多个与函数、导数相关的知识点，并通過方法的综合使用达到了温故知新的效果。高三数学习题课任务量很大，对题目进行深入探究与方法总结方能让习题课生动并且高效。