渗透数学模型思想 关注小学数学建模

龙凤 高明

摘 要：数学建模是数学学科核心素养之一，其培养是一个循序渐进的过程，将数学建模思想引入小学教学有重要的意义和作用。本文以植树问题为例，阐述教师如何引导学生从实际问题中抽象出具体的数学模型，以解决相关问题，帮助学生从小培养数学建模思想。

关键词：建模思想；小学数学；应用

数学建模是将现实问题进行数学抽象，用数学知识与方法构建模型，以此来解决问题的过程，其本质是运用数学知识解决实际问题，它构建了数学与外部世界的“桥梁”，是应用数学思想、方法解决实际问题的重要手段，是推动数学发展的动力。

小学数学建模需要考虑小学生的年龄特征及其心理发展水平，教师应善于利用几何直观，鼓励学生用数学语言、数学符号以及数学图形描述问题。通常情况下，在小学阶段，数学建模大致可以包括四个步骤：

模型应用模型构建验模型求解问题抽象

下面以小学阶段典型的植树问题为例进行建模分析：

“植树问题”是现实生活中常见的实际问题，主要涉及间隔数与棵数之间的关系，意在培养学生从问题中寻找规律的意识和能力，并在问题解决的过程中，逐步渗透数学建模的思想。

提出问题：植树节到了，学校组织同学们要在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共需要多少棵树苗？

分析和解答：

一、 形象展示，探索规律

教师先向学生展示现实生活中的一张绿化图，引导学生观察图中（图1）每两棵树之间，每三棵树之间，……，树的棵数与间隔数之间存在怎样的数量关系？并且要求学生用线段图的方式将树与间隔的关系抽象出来：

观察图2，发现规律：每两棵树之间有1个间隔，三棵树有2个间隔，四棵树有3个间隔，五棵树有4个间隔，……，棵数总比间隔数多1个（两端都要栽）。

二、 归纳总结，构建模型

进一步观察，归纳出棵数与间隔数之间存在的等式关系：

间隔数+1=棵数；棵数-1=间隔数

通过初步建立间隔数与棵数的模型，进一步让学生意识到可以通过求间隔数来间接求出棵数，于是将问题转化为求间隔数。

问题转化：

①长100米的线段，每5米一个间隔，问有多少个间隔？

②在已知一段线段的长度以及间隔长的情况下，间隔数应用怎样的等式关系表示？

鼓励学生自行解决问题①：一共有100÷5=20（个）间隔

师生共同总结出问题②等式关系：间隔数=线段长度÷间隔长

归纳总结，得到最终模型：

间隔数=线段长度÷间隔长 间隔数+1=棵数；棵数-1=间隔数

三、 应用模型，解决问题

再次转化，回归初始问题：老师引导学生将“线段”替换成“小路”，每5米一个间隔看作是每隔5米种一棵树，于是学生很容易得出长100米的小路上一共有20个间隔。这是问题解决的关键一步。

根据前面师生共同建构的模型：

间隔数=线段长度÷间隔长 间隔数+1=棵数；棵数-1=间隔数

学生可以自行求得一共栽种：20+1=21

四、 变式练习，巩固提升

在问题的整个解决过程中，学生对植树问题两端都植树的情况有了一定的建立数学模型的意识，老师可进一步对问题进行变形，鼓励学生联系两端均要植树的问题解决步骤自主建立模型解决问题。

变式1：同学们在全长为100米的路一边植树，每隔5米栽一棵（只植一端）。一共需要多少棵树苗？

用线段图的方式将树与间隔的关系抽象出来：

通过图3，发现规律：一棵树1个间隔，两棵树2个间隔，三棵树3个间隔，……，棵数总等于间隔数（只植一端）。

棵数与间隔数存在数量关系：间隔数=棵数

间隔数：间隔数=线段长度÷间隔长

总结归纳，得到仅一端植树需要树苗数的最终模型：

间隔数=线段长度÷间隔长 间隔数=棵数

利用模型解决问题：

①求间隔数：100÷5=20（个）

②求所需树苗数：20（个）=20（棵）

变式2：同学们在全长为100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端均不植树）。一共需要多少棵树苗？

用线段图的方式将树与间隔的关系抽象出来：

通过图4，发现规律：一棵树2个间隔，两棵树3个间隔，三棵树4个间隔，……，棵数总比间隔数少1个（两端均不植）。

棵数与间隔数存在数量关系：间隔数-1=棵数 棵数+1=间隔数

间隔数：间隔数=线段长度÷间隔长

总结归纳，得到两端均不植树需要树苗数的最终模型：

间隔数=线段长度÷间隔长 间隔数-1=棵数 棵数+1=间隔数

利用模型解决问题：

①求间隔数：100÷5=20（个）

②求所需树苗数：20-1=19（棵）

变式3：同学们沿周长为100米的圆形绿化地植树，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵树苗？

变式3的圆周植树问题是在前面两个直线植树问题变式基础上的加深加难，但老师已经引导、鼓励学生成功建立了直线植树的一系列模型，学生对建立模型有了一定的实践经验，老师可以让学生自行动脑思考，动手实践，建立解决变式3的圆周植树問题的数学模型。

同样利用点线图抽象出圆周植树中间隔与棵数的关系：

通过图5，发现规律：一棵树1个间隔，两棵树2个间隔，三棵树3个间隔，……，棵数总等于间隔数（圆周植树）。

棵数与间隔数存在数量关系：间隔数=棵数 间隔数：间隔数=线段长度÷间隔长

总结归纳，得到圆周植树需要树苗数的最终模型：

间隔数=线段长度÷间隔长 间隔数=棵数

利用模型解决问题：

①求间隔数：100÷5=20（个）

②求所需树苗数：20（个）=20（棵）

植树模型的建立主要是需要学生观察实际生活，在教师引导下学生利用点线图抽象出树与间隔的位置关系，得出植树棵数与间隔之间存在的数量关系。这样做不仅培养了小学生有意识的通过建模解决数学问题，更重要的是让学生学会了用数学的眼光观察世界，热爱生活，树立健全人格！

数学建模是数学知识与数学应用的桥梁，在小学数学教学中渗透数学建模的思想是可行的，但在教学中应做好：（1）加强几何直观，增强趣味性。小学数学教学具有特殊性，最主要的是它必须依据小学生的认知发展水平以及逻辑思维发展程度，需要更多地依靠生活经验和几何直观。小学生活泼好动，教师对建模的原问题设计在依据学生的生活经验以及结合几何直观的基础上，要尽可能的使问题具有一定的趣味性，充分调动学生学习数学积极性，外部刺激与内部学习动机相结合，让学生体味数学建模的魅力所在。（2）注重应用模型，注意变式拓展。数学是灵活多变的，但问题与问题之间又存在着一定的联系。在利用模型解决问题时，适当地应用变式，将有助于培养学生应用数学模型的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之八——模型思想（上）[J].小学数学教师，2014（12）：4-9.

[2]代金凤.构建模型 提升能力 发散思维——例谈小学数学中的“植树问题”[J].呼伦贝尔学院学报，2012（03）：110-112.

作者简介：

龙凤，高明，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。