认知理论视野下数学“准概念”的教学处理

程冬梅

摘 要：“准概念”是学生对数学概念的“非标准化理解”“非正规化表达”。“准概念”是学生数学概念学习过程的一种表征。“准概念”具有经验性、形象性与接近性。基于“认知理论”，教学中教师要尊重学生“童化表征”，助推学生“缓冲理解”，引导学生“渐进认知”，将学生的“准概念”发展、提升为科学的数学概念。

关键词：认知理论；准概念；教学处理

数学概念是数学教学的基石。学生由于年龄和心理特征的影响，在数学学习中对概念经常会产生“非标准化理解”，这种“非标准化理解”的数学概念就是数学的“准概念”。“准概念”的形成过程正是学生对科学的数学概念逐步逼近、渐进的过程。教学中，教师如何把握学生的“准概念”理解？學生的“准概念”理解在数学教学中到底发挥着怎样的作用？如何提升学生的数学“准概念”？笔者在教学实践中展开了积极的探索。

一、“认知理论”视野下数学“准概念”内涵及其特征

“认知理论”认为，学生对数学概念的认知有两种方式——“同化”与“顺应”。所谓“同化”，是指学生将新知纳入自己原有认知结构之中，进而实现认知结构数量的扩展；所谓“顺应”，是指学生的认知结构因新知介入而发生改变，是学生认知结构性质的改变。学生的认知发展是从“平衡”到“不平衡”再到“平衡”的过程，其间伴随着学生的认知符合、认知冲突、认知失衡、认知失调等。其间，学生常常依据自己的知识基础、学习经验和生活经历对数学概念进行解释，这样的“非正规表达”就是学生的“准概念”表达。“准概念”表达是学生数学学习的过程性表达，有些还夹杂着学生的创造性理解。学生数学“准概念”具有如下特质：

1. 经验性。经验性是学生数学“准概念”的显性特质。在数学学习中，许多学生对数学概念的描述就是根据的经验。例如，学生在表述“进一法”“去尾法”时，就是根据的解决问题的经验。学生认为，所谓“进一法”，就是“宁可多，不可少”；所谓“去尾法”，就是“宁可少，不能多”。这样的表述，尽管不是严格的数学意义上的表述，但却直切了概念的内涵。当然，依靠经验表述概念，也会出现一些模糊性、错误性的认识。比如，对于“高”的理解，垂直是其本质内涵，但学生却将其表述为“竖直”。对于这种背离概念本质内涵的“准概念”表述，教学中教师要积极引导学生辨析。

2. 形象性。学生的思维方式是丰富的，有的善于抽象思维，有的善于形象思维，还有的善于直观动作思维。在数学教学中，对于不同思维方式、认知倾向的学生，教师要尊重、理解和包容，允许学生对概念的多元描述。有时，正是在感性的描述中，学生能够触碰到概念的本质内核。例如学生在描述“面积”的概念时，没有用“物体表面或平面图形的大小”，而是用手掌摇晃表示，显然这样的动作表示是切入概念的本质内涵的；有学生画出一个图形，然后涂色，这样的形象的表示方法也是生动的。换言之，在数学教学中，学生借助动作、图形表征概念，能够促进学生对概念的意义理解。

3. 接近性。通常情况下，学生的“准概念”理解与表达接近数学的概念的本质内涵。但是，这些“准概念”的描述却不能登“大雅之堂”，如考试试卷上、作业填空题中等。对于学生的“准概念”，教师要因势利导，努力让学生的“准概念”表述逼近、上升为“概念”的科学描述。例如对于“素数”的概念，有学生这样表述：“素数”就是只能分解成一道乘法算式的数，如2=1×2，3=1×3，5=1×5，…对于学生的描述，教师可以顺水推舟，这些数的因数有哪些？如此，素数的概念——“只有1和它本身两个因数”就能在学生的心中牢固建立。

“准概念”是学生在概念学习中必然产生的一种数学表达。教学中，教师要揣摩学生的“准概念”表达、理解学生的“准概念”表达、包容学生的“准概念”表达。只有对学生的“准概念”表达持续关注、积极引导，才能改变、发展和重建科学化的数学概念，让学生逐步逼近概念本质，理解概念内涵，把握概念外延。

二、“认知理论”视野下提升“准概念”教学路径探寻

“准概念”是学生数学学习中客观存在的现象。教学中，对于学生概念的个性化表述，教师要积极引导。对于学生数学“准概念”的童化表征、缓冲理解和渐进认知，教师要积极启发，引导学生逐步触摸、逼近、抵达概念的本质。只有学生亲历了概念的发生、发展与形成全过程，深入剖析、提炼了概念的本质属性，才能形成对概念的本质理解。

1. 童化表征：引导学生触摸概念的内核

学生对概念的表征是童化的、非正规的。它可能是源于学生的数学直觉、数学想象，抑或只是学生的奇思妙想、异想天开。对于学生的童化表征，教师要积极引导、适度矫正，让学生逐步触摸到概念的内核。

教学苏教版四年级下册的《平行四边形的认识》，笔者将它与《梯形的认识》进行整合，其意图在于让学生能够掌握四边形家族中的这两个特殊的成员的概念本质。首先出示各式各样的四边形，然后引导学生尝试自主分类。学生很快将之分成了三类：第一类是两组对边都不互相平行，第二类是两组对边分别平行，第三类是只有一组对边平行。对于平行四边形，学生的概念表述基本上是到位的，但对于梯形，一些学生认为，“有一组对边平行的四边形”是梯形；还有一些学生认为，“只有一组对边平行的四边形”是梯形。笔者适时追问，这里要不要加上“只”字？有学生认为不需要加，还有一些学生认为一定要加。学生用自己的话语表述：“我有姐姐”和“我只有姐姐”是不同的，“我有姐姐”除了表示我有姐姐外，还表示我可以有哥哥；“我只有姐姐”表示我除了有姐姐外不能有哥哥。在这样的童化表征中，学生理解了“只”的深刻内涵，显然，这里的“只”字表示“唯一性”。这种与正式的数学概念相似的童化表述，教师只要稍加点拨，就能触碰到概念的本质内核。如笔者是这样点拨的：“有一组对边平行可能是几组对边平行呢？”“只有一组对边平行就是几组对边平行呢？”在不断地辨析中，学生理解了梯形的本质内涵。

对于学生“准概念”的教学，其实就是进行科学、合理的概念转变、提升的教学过程。借助学生的“准概念”，教师适时彰显概念的本真意蕴现象，帮助学生铺设通达概念本质的宽畅道路。如此，学生就能跨越从形象到抽象的思维障碍，让抽象化的数学概念在“理性”中“定格”。

2. 缓冲理解：引导学生逼近概念的本质

学生对数学概念的认知与把握不是一次性到位的，其间可能要经过一个漫长的、曲折的过程。教学中，教师不能要求教学的一帆风顺，不能企望教学的一蹴而就，而应允许学生的缓冲理解。学生的这种缓冲理解可能只是学生的一种体验、一种意会，也可能只是学生的一种懵懂的表达，但其中却闪现着数学本质的光辉，蕴含着数学知识的本质种子。

例如教学《分数的认识》，其教学重点是让学生理解分数的意义，其关键在于认识单位“1”以及建立整体与部分之间的关系。为了突出教学重点，笔者预设了系列教学层次，让学生按照一个物体、一个计量单位和许多物体组成的整体的顺序展开活动。通过分层建构，让学生的数学理解缓慢地生长。学生首先将一个圆片平均分成四份，涂色表示其中的一份；其次将一分米长的线段平均分成四份，表示其中的一份；再次将一堆小棒平均分成四份，表示其中的一份。通过分层建构，学生认识到：一个物体可以看成单位“1”，一个计量单位可以看成单位“1”，许多物体组成的整体也可以看成单位“1”。至此，学生的“准概念”步步升温，他们深刻理解了单位“1”的本真内涵。原来单位“1”是一个整体，“分数就表示将单位‘1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的大小的数，叫分数”（张奠宙语）。

在数学教学中，学生的数学理解有时不是一步到位的，正如分数概念的建立。但是，学生数学理解、数学认识的不严密，恰恰为教师的丰富性教学提供了可能。正是这样的分层建构，才让学生真正感受、体验到数学的严谨、严密，体验到数学概念高度的抽象性、普适性。

3. 渐进认知：引导学生抵达概念的本质

如上所述，学生对数学概念的理解是缓慢的，同样，学生对数学概念的认知建构也是渐进的。某种意义上，“准概念”充满了儿童的灵气，教学中教师要尊重它、呵护它。但允许学生的“准概念”的渐进性的认知建构并不是对数学概念精确性要求的放弃，更不是放逐，相反地，它是在追求学生真正意义上的理解，是一种“模糊性的精确”，因而是一种真精确、真理解。

例如对于“三角形的高”这一概念，苏教版教材是安排在《三角形的认识》第一课时中的。这一课时的内容有三个板块：一是“三角形的特征”，二是“三角形的底和高”，三是“三角形的稳定性”。许多教师在教学中都是“行色匆匆”，知识点都有所涉猎，但都是蜻蜓点水、浮光掠影。对于“三角形的高”，笔者在教学中让学生“渐进认知”，首先出示锐角三角形，让学生从上面的顶点往底边作垂直线段，学生很轻松地作出了高，这一步旨在让学生初步建立“垂直”概念；然后将这个锐角三角形旋转，高也随着锐角三角形的旋转而发生了位置变化，这一步旨在让学生区分“竖直”与“垂直”的区别，进一步明晰“垂直”的本质内涵；接着在第二课时中出示直角三角形、钝角三角形，要求学生过三个顶点作三条高，学生发现，三角形的高不僅可以在三角形的内部，而且也可以在三角形的边上，还可以在三角形的外面。这样的渐进认知，不断让学生逼近数学本质，最后抵达数学概念的本质深处。

渐进化的认知要求教师在教学的“下一个路口等孩子”，要求教师在教学中不能急功近利，不能急躁、浮躁，而应从学生的学习心理特征出发，充分预设学生学习中可能会遭遇的障碍，可能会发生的错误。只有这样，教师才能给予学生的数学学习以有力的支持、支撑，助推学生形成科学化的数学概念。

学生的概念学习是一个过程，在这个过程中，学生自然且必定要经过“准概念”的学习状态。教学中，教师要正视学生的数学“准概念”理解，运用学生的数学“准概念”，消除学生的思维定式，矫正学生的迷思概念，提升学生的童化表达。理解和把握学生的数学“准概念”，让学生从对数学的模糊认知走向对数学的精准把握，这是数学教师的永恒追求。