Stiefel流形上的单边干扰对齐预编码

凌必祥 解培中 李 汀

(南京邮电大学通信与信息工程学院，江苏南京 210003)

1 引言

目前干扰对齐预编码矩阵的求解，大多还是基于传统的最优化理论，虽然它们在求解时利用了不同的方法，但是这些方法都是基于传统的优化理论，这样设计出的干扰对齐预编码算法无论在性能还是在复杂度上都很难令人满意，不能发挥出干扰对齐的优势。在文献[13]中，将流形应用到预测量化中，它利用源信号的相关性，与传统无记忆预测量化方案相比可以显著的降低量化码本的大小。在文献[14-15]中，分别将流形应用到预编码预测和信道预测，虽然文献[13-15]都应用到流形，但是都是将流形应用于预测中。文献[16]中提出了一种针对多个主用户和多个次用户的多输入多输出认知网络，先利用编码的方法消除主次用户之间的干扰，在此基础上建立等效模型，在等效模型的基础上以总容量最大化为目标函数设计预编码矩阵，对于预编码矩阵的求解利用了Grassmann流形上的梯度法。然而，在利用Grassmann流形上的梯度法时要使得目标表达式满足酉不变性，本文将Stiefel流形应用到多用户MIMO系统的干扰对齐预编码矩阵设计中，它不仅不需要满足酉不变性，能够简化约束条件将有约束的预编码矩阵优化问题转化为无约束的预编码矩阵优化问题进行求解，同时也继承了单边干扰对齐技术上的优势。本文利用文献[17]给出的Stiefel流形上的一阶偏导，梯度方向表达式，流形测地线轨迹曲线和平行传输切矢量，最终设计出Stiefel流形上的单边干扰对齐最速下降预编码算法和Stiefel流形上的单边干扰对齐共轭梯度预编码算法，通过设计出的算法求出干扰对齐预编码矩阵。仿真结果表明，相比最优化方法[12]优化的单边干扰对齐预编码算法，本文设计出的Stiefel流形上的单边干扰对齐预编码算法的收敛速度更快、系统容量更高。

本文的符号说明：大写和小写粗体分别表示矩阵和列向量。对于任意一般矩阵X,XT、X*、XH分别代表转置，共轭，共轭转置。span(X)代表矩阵X的列空间。IN代表N×N单位阵。Cm×n代表m×n复矩阵。‖.‖和tr(.)分别代表Frobenius范数和矩阵的迹。

2 系统模型

(1)

Hk,l∈CNl×Ml为发射器l到接收器k的复信道增益矩阵，Hk,l独立同分布。wk∈CMk×1是均值为0，方差为1的加性高斯白噪声。

图1 K用户MIMO干扰信道模型

经过干扰消除矩阵Uk∈CMk×dk处理以后，得到的接收信号yk如下所示：

(2)

(3)

(4)

接下来，每个接收器对准不同的干扰子空间距离，那么不同干扰子空间的总和距离为：

(5)

3 单边干扰对齐预编码

为了方便讨论，假设(Mk,Nk,dk)=(M,N,d),1≤k≤K，干扰信道是对称信道。干扰对齐是在接收端对齐多用户干扰，假设有用信号占据d维空间，那么干扰信号占据(N-d)维空间。为实现干扰对齐，最重要的是要找到一个合适的指标，用以指示不同干扰子空间的相对位置。在文献[12]中，将不同干扰子空间的总和距离作为干扰对齐的指标，当不同的干扰子空间相互重叠时，这时可以认为它们之间的空间距离近似为零，也就可以认为实现了干扰对齐。

S1和S2是维度相同的两个空间，定义S1和S2之间的弦距离为：

(6)

假设S1和S2是接收端干扰信号子空间，如果d(S1,S2)=0，这两个干扰信号对齐。其中Pi是空间Si的正交投影，有：

(7)

(8)

接下来为方便描述，我们假设在干扰信道中存在三个收发器，即k=3。在三用户干扰信道中，接收器1将发射器2和发射器3发射的信号视为干扰，接收器2将发射器1和发射器3发射的信号视为干扰，接收器3将发射器1和发射器2发射的信号视为干扰，因此，由以上可知每个接收器的干扰子空间弦距离可以表示为:

接收端1干扰子空间的弦距离为：

P1=‖P12-P13‖

(9)

接收端2干扰子空间的弦距离为：

P2=‖P21-P23‖

(10)

接收端3干扰子空间的弦距离为：

P3=‖P31-P32‖

(11)

(12)

在需要优化的干扰子空间弦距离给出之前，先给出一些正交投影矩阵的知识，设X的列向量所张成空间的正交投影为A，由文献[18]知，A具有如下的一些性质：

AH=A

(13)

A×A=A

(14)

tr(In)=n

(15)

T=tr{(P12-P13)(P12-P13)H}+tr{(P21-P23)

(P21-P23)H}+tr{(P31-P32)(P31-P32)H}=

(16)

又因为tr(Pi, j)=d，1≤i,j≤3，d为发射端发射的空间数据流，经过转换后，T可表示为：

T=6d-2tr(P12P13)-2tr(P21P23)-2tr(P31P32)

(17)

假设f=tr(P12P13)+tr(P21P23)+tr(P31P32)，则干扰子空间弦距离之和T最小化等价于f最大化，即：

maxf=tr(P12P13)+tr(P21P23)+tr(P31P32)

(18)

4 Stiefel流形上的单边干扰对齐方案

4.1 Stiefel流形的基本概念

Stiefel流形[19]是嵌入在欧氏空间里的微分流形，它是一个紧凑流形，可定义为满足以下条件的矩阵集合：

St(n,p)={X∈Cm×p;XHX=Ip}

(19)

Stiefel流形的维度为：

(20)

Zj=Gj-YjGjYj

(21)

其中，Gj为目标表达式在Yj处的梯度即一阶导数。要使得代价函数的自变量始终在流形内沿着最陡下降沿方向移动，那么它必须遵循某种轨迹曲线运动，这种轨迹曲线就是流形的测地线[20]。它表示在局部范围内长度最短的曲线，对于Stiefel流形，可以将(21)做SVD分解：

(22)

其中Uj和Vj分别为左右酉矩阵，Σj为对角阵，假设每次迭代的步长为t，由文献[17]可得出自变量Yj沿测地线的迭代轨迹为：

(23)

4.2 Stiefel流形上的最速下降干扰对齐算法

令HH21=(H21V1)HH21V1；HH31=(H31V1)HH31V1

(24)

令HH12=(H12V2)HH12V2；HH32=(H32V2)HH32V2

(25)

令HH13=(H13V3)HH13V3；HH23=(H23V3)HH23V3

(26)

假设在对称3用户MIMO干扰信道中，发射端和接收端分别配备M根天线，每个发射端发射d个数据流，可以设计出Stiefel流形上的最速下降干扰对齐算法，Stiefel流形上的最速下降干扰对齐算法的具体设计步骤如表1所示。

表1 Stiefel流形上的最速下降干扰对齐算法

4.3 Stiefel流形上的共轭梯度干扰对齐算法

表2 Stiefel流形上的共轭梯度干扰对齐算法

5 数值仿真和收敛性及复杂度分析

5.1 数值仿真

这一部分我们给出仿真结果，通过仿真结果比较了本文提出的Stiefel流形上的共轭梯度算法、Stiefel流形上的最速下降算法与最速下降算法的和速率与收敛性。和速率的计算公式可以表示为:

(27)

我们考虑系统(M,N,d)K，发射端和接收端分别配备K个发射器和接收器，每个发射器和接收器分别配备M根天线和N根天线，每个用户期望发送d个数据流。每个用户对有完全相同的发射功率，即Pk=P,k=1,…,K。在接收端对噪声进行归一化处理后，功率P就代表SNR，所有信道之间相互独立，在本文提供的所有算法中，设置步长t为0.05。

在图2和图3中， 我们画出了在(4×4,2)3和(6×8,2)4干扰信道中三种算法的代价函数和迭代次数的收敛曲线，式(20)中的f为代价函数，从仿真结果可以看出，Stiefel流形上的共轭梯度算法收敛速度最快，Stiefel流形上的最速下降算法次之，普通的最速下降算法的收敛速度最慢，在Stiefel流形上建模求最优化问题的收敛性比普通优化算法的收敛性更好。

图2 在(4×4,2)3干扰信道中的收敛曲线

图3 在(6×8,2)4干扰信道中的收敛曲线

在图4和图5中，我们分别画出了在(4×4,2)3和(6×6,2)4干扰信道中四种算法的和速率曲线，从图4和图5中可以看出，在相同SNR条件下，Stiefel流形上的共轭梯度算法的和速率最大，同时，随着用户数的增加和速率也在不断的增加。

图4 在(4×4,2)3干扰信道中的和速率曲线

图5 在(6×6,2)4干扰信道中四种算法的和速率曲线

5.2 收敛性及复杂度分析

迭代算法总的复杂度是由迭代次数和每次迭代复杂度的乘积共同决定的，由文献[21]可知，Stiefel流形上的复杂度和一般优化理论的算法复杂度，都和矩阵的维度M成渐进3次方关系。由以上的分析可知，Stiefel流形上的干扰对齐预编码算法的迭代复杂度要远远小于一般优化理论的干扰对齐预编码算法且Stiefel流形上的干扰对齐预编码算法的迭代次数要小于或者近似等于一般优化理论的干扰对齐预编码算法，所以Stiefel流形上的干扰对齐预编码算法的复杂度要低。

6 结论

本文由单边干扰对齐技术设计出了Stiefel流形上的单边干扰对齐预编码算法，利用了干扰子空间的弦距离，将干扰子空间的弦距离之和是否为零作为接收端干扰子空间是否对齐的度量标准，并将子空间弦距离用函数表达式的形式给出，该函数表达式一阶可导，这样干扰对齐条件下的预编码矩阵求解问题，转化为如何利用最优化的方法求解预编码矩阵问题。一般求最优化问题都是利用最优化知识进行求解，然而本文将Stiefel流形模型应用于预编码矩阵的求解，这样可以将有约束的预编码矩阵求解问题转化为无约束的预编码矩阵求解。从仿真结果可以看出，Stiefel流形上的共轭梯度算法与Stiefel流形上的最速下降算法和最速下降算法相比和速率提高了且收敛速度加快了。

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