秦九韶在代数学上的主要贡献

孙莉

摘 要：秦九韶（1202—1260）是中国古代数学家，所著《数书九章》是继《九章算术》后我国最重要的数学经典。《数书九章》载算题81道，分九章，约27万字，接触面很广，在代数学领域产生了重要影响。秦九韶在代数学方面的贡献主要表现在线性方程组、数值解多项式方程以及一次同余式三个方面。

关键词：秦九韶；代数学；主要贡献

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）27-0182-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.27.111

一、线性方程组

在《九章算术》的方程章节中，有关于线性方程组解法论述中的计算程序基本上与今天所讲的矩阵初等变换相当。即从题给增广矩阵开始，系数矩阵经过变换之后成为三角矩阵，再进行回代，最后將答案得出。《九章算术》之后的《数书九章》对该传统予以继承和发扬，具体而言就是在“推求物价”和“均货摊本”的习题中将《九章算术》所采用的“遍乘直除”创新为“互乘相消”，之后将系数矩阵进行变换，直至单位矩阵。其题后的草文中，即将我国13世纪时的线性方程组的解答全过程予以真实记录，而“均货摊本”题则与以下方程组相当：

58w+52x=106000，1670y+15x=106000，264z+800y=106000，200w+40z=106000.

可以说，现代数学中的“高斯消去法”与该解法完全一致，我国在解线性方程组方面所取得的先见远早于西方。

二、数值解多项式方程

公元1261年，杨辉在其所著的《详解九章算法·纂类》中对北宋数学家贾宪所提出的增乘方法做了详细记述，综合前人在开平方、开立方方面所取得的算法成果提出了数值解正系数三次方程的新方法，具有极为深远的意义和影响。该种方法与之前的算法相比极为简便，可以避免之前需要记忆新旧方程系数关系的繁琐，能够按部就班，直接得出结果。此后，秦九韶又将增乘方法进行推广，将其扩展为正负开方，以便于解答算题中的26个多项式方程。具体到正负开方，即数值解一般多项式方程：

a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0

在该方面，秦九韶所取得的成果主要表现在以下四点：第一点，除a0≠0，an<0之外，对方程系数不做正数的限制；第二点，n不限于3，例如，在《数书九章》的“遥度圆城”中，n=10；第三点，扩（缩）根、估根、减根有完整算法程序，在运算中，秦九韶通常先采用扩（缩）根，使新方程的根x的整数部分[x]是个位数，然后估计这个[x]，再根据y=x-[x]做减根变换……多次运算，直至达到所需要的精度；第四点，x1经过扩根之后变换为x1=10x，其方程则设为：

秦九韶认为所求方程的根是：

x≈[x]+

当然，中亚细亚学者阿尔·卡西（？—1436年）在其著作《算钥》中也提出了与我国增方法程序步骤大致相同的开任意次方的算法，但在时间上比贾宪推迟了近四个世纪，比秦九韶也将近晚了200年。欧洲关于数值解多项式方程的系统研究则始于19世纪初期，且以霍纳（W.G.Horner，1789—1837年）这位英国学者最负盛誉，但他无扩（缩）根步骤，在算法程序和数据处理方面也比较紊乱。

三、一次同余式（组）

《孙子算经》（约400年时成书）卷下第26题提出了解同余组：x≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）的问题，《数书九章》卷1、卷2共9题以及卷3第3题（“治历演纪”）都要解一次同余组。在解答这10道题时，秦九韶基于“大衍数术”提出了具体解法并将详细计算过程记录于题后的草文之中。“大衍总数术”，全文855字，共涵盖了15组数学命题，同时综合考虑了10道算题，辞简意赅，其中重要成果可以归结为以下三项：

第一点，《孙子算经》解题方案仅限于数值例子，大衍总数术则对于一般同余组提出了完整的解题程序。即，对于同余组： x≡ri （modmi） ①

1≤i

先解 MiFI ≡1（modmi）

其中Mi=M/mi，而M=mi，则①的解是： x=MiFI ri（modM）。

此即，著名的中国剩余定理。

第二点，《孙子算经》中所设想的同余组①中的模数都两两互素。在我国古代历法的实际计算中，经常出现模数不两两互素的情况，在没有素数概念的条件下，大衍总数术设计了“化不两两互素的模为两两互素、且与题设同余组等价”的计算程序。用现代语言表述该程序则为，对同余组①，如（mi，mj）=d>1，从关系式：

{mi，mj}=mi，mj/（mi，mj）

把mi一一变换为μi，使同时满足：

μi| mi，（μi，μj）=1，μi={m1，m2，…，mn}，

于是新同余组： x≡ri （modμi） ②与①等价。

第三点，对同余式

ax ≡ 1（modb） ③

其中（a，b）=1，提出了一般解法，秦九韶将之称为“大衍求一术”。倘若a，b的数值比较小的话，则可以在b的完全剩余类中猜测得出所求数x的解。然而，a和b在实际运算中却通常成千上万，以我国古代历法计算为例即是如此，只有将“大衍求一术”予以引入才能顺利解决问题。对该理论进行现代阐释即为：采用欧几里得算法对a，b两数进行运算，分别记录其所得的商和对应的余数如下：

q1，q2，…qn，r1，r2，…，rn=1，rn+1=0

如果n是单数，我们记，ji=qi ji-1+ji-2并且j0=0，ji=1，那么x=jn就是③的解。

毫无疑问，秦九韶于13世纪所作出的一次同余论领域的创造发明具有里程碑式的意义。此外，日本古典数学中的和算也向来将中算作为自己的“老师”。例如，晚于秦九韶四个世纪之久的日本著作学者直至关孝和在其著作《括要算法》中详细记载了秦九韶的相关研究成果。就一次同余理论而言，西欧的欧拉、拉格朗日和高斯等多位代数学家经过长达半个世纪之久所取得的成就才与秦九韶大体相当，且最早是在19世纪初（1801年）才有关于同余理论的全面论述。

参考文献：

[1] 查有梁.秦九韶在数学上的贡献[J].广西民族大学学报（自然科学版），2006（3）.

[2] 沈康身.秦九韶对数学的杰出贡献[J].自然杂志，1989（1）