读懂 吃透 迁移

李秀真

阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供的新的方法或新的知识（当然也有可能是依据已有的概念、认知进一步得到一个新的概念），并灵活运用这些新方法或新知识去分析、解决类似的或相关的问题.

解决这类问题需要对阅读理解材料认真阅读，先读懂、读透，然后进行合情推理.

一、阅读新定义，解决新问题

例1 规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”.一般地，把[a÷a÷a÷…÷an个a]（a≠0）记作an，读作“a的圈n次方”.

（1）直接写出计算结果：2③= ，（-3）④= ，（[-12]）⑤= .

（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，例如：除方2④=2÷2÷2÷2=（[12]）2转化为乘方.归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于 .

（3）计算24÷23+（-8）×2③.

【分析】理解除方的意义是解答本题的关键.

解：（1）2③=2×[12]×[12]=[12]，

（-3）④=[19]；（[-12]）⑤=-8.

（2）这个数倒数的（n-2）次方.

（3）24÷23+（-8）×2③

=24÷8+（-8）×[12]=-1.

【点评】该题考查了转化思想和乘方的相关知识，从读题中悟出：当a≠0时，an=（[1a]）n-2.

二、阅读题中信息，提炼数学思想方法

例2 （2017·南通）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.

（1）等边三角形“内似线”的条数为 ；

（2）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“内似线”；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长.

【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，共有3条；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，即BD是△ABC的角平分线，证△BCD∽△ABC即可；（3）分两种情况：①EF与AB平行，②EF与AB不平行.

解：（1）等边三角形“内似线”的条数为3条.理由如下：

过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图2所示，则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的“内似线”.

（2）证明：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC

=∠C=∠BDC，∴△BCD∽△ABC，且BD是∠ABC

的角平分线，即△ABC的内心在BD上，

∴BD是△ABC的“内似线”.

（3）如图3，设D是△ABC的内心，连接CD，

则CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“内似线”，

∴△CEF与△ABC相似.

分两种情况：

①当[CECF]=[ACBC]=[43]时，EF∥AB，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=[AC2-BC2]=5，

作DN⊥BC于N，

则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，∴DN=[12]（AC+BC-AB）=1，

∵CD平分∠ACB，∴[DEDF]=[CECF]=[43]，

∵DN∥AC，

∴[DNCE]=[DFEF]=[37]，即[1CE]=[37]，

∴CE=[73]，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴[EFAB]=[CEAC]，即[EF5]=[734]，

解得：EF=[3512].

②当[CFCE]=[ACBC]=[43]，同理得：EF=[3512].

综上所述，EF的长为[3512].

【点评】该题综合考查了相似形的知识.

三、阅读题中信息，借助已有数学思想方法解决新问题

例3 阅读理解：

如图4，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.

例如：图5中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.

解决问题：

如图6，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.

（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；

（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？

（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此题的结果）

【分析】（1）作AC⊥x轴，由OP=4，OC=8，则PC=4，AC=4，根据勾股定理求解可得.（2）作BD∥x轴，分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P在AC左侧时，根据勾股定理即可求得；P在AC右侧时，作AP2⊥AB，交x轴于点P2，证△ACP2≌△BEA得AP2=AB=3，继而可得答案.（3）分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P在AC左侧时，根据勾股定理即可求得；P在AC右侧且P3M=6时，作P2N⊥P3M于点N，知四边形AP2NM是矩形，证△ACP2∽△P2NP3，得[AP2P2P3]=[CP2NP3]，可求得P2P3的长.

解：（1）如图7，作AC⊥x轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，∴PC=4，

∴点P到线段AB的距离PA=[PC2+AC2]

=[42].

（2）如图8，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，

①当点P位于AC左侧时，

∵AC=4、P1A=5，∴P1C=[P1A2-AC2]=3，

∴OP1=5，即t=5；

②当点P位于AC右侧时，过点A作AP2⊥AB，交x轴于点P2，延长CA交BD于E，则∠AEB=90°，而BA=[AE2+BE2]=[32+42]=5.

在△ACP2和△BEA中，

∵[∠ACP2=∠BEA=90°，AC=BE=4，∠P2AC=∠ABE，]

∴△ACP2≌△BEA，

∴AP2=BA=5，且P2C=AE=3，

∴OP2=11，即t=11.

（3）如图9，①当点P位于AC左侧，

且AP1=6时，

则CP1=[P1A2-AC2]=[62-42]=[25]，

∴OP1=OC-CP1=8-[25]；

②当點P位于AC右侧，且MP3=6时，

过点P2作P2N⊥P3M于点N，则四边形AP2NM是矩形，

∴∠AP2N=90°，

∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，

∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，

∴[AP2P2P3]=[CP2NP3]，

即[5P2P3]=[31].

∴P2P3=[53]，

∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+[53]=[383]，

∴当8-[25]≤t≤[383]时，点P到线段AB的距离不超过6.

【点评】同学们应认真仔细地阅读给定的材料，重点读出是点到线段的距离.展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，才能解决题目中提出的问题.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）