“数形结合”在中学常见函数中的应用

冷燚

[摘 要]“数形结合”就是将数与形有机的结合起来，在中学常见函数中的应用比较广泛.“数形结合”把函数解析式的精确刻画和几何图形的直观描述相结合，使得代数问题几何化、几何问题代数化，使抽象思维和形象思维有机结合，不仅使解题简捷快速，还开拓思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的道路.本文主要介绍“数形结合”思想、“数形结合”在中学常见函数中的意义以及“数形结合”在中学常见函数中的应用.

[关键词]数形结合；中学数学；函数；应用.

一、“数形结合”思想

1.“数形结合”思想的起源及发展史

将“数形结合”运用于数学教学中，这一重要思想萌芽于古希腊.欧几里德著有《几何原本》；笛卡尔建立平面直角坐标系并发表了《几何学》；费马用代数方法研究古希腊的几何学，发表著作《平面与立体轨迹引论》.自此后，“数形结合”的思想得到了突飞猛进的发展。

我国的“数形结合”于公元前十五世纪的甲骨文记载，其中就有了“规”和“矩”二字的存在.规是用来画圆的，矩是用来画方的.大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理.圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置.中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果。

二、“数形结合”在中学常见函数中的意义

1.中学常见函数

（1） 一次函数：一般地，形如（k≠0，k、b为常数）的函数，我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量.

（2） 反比例函数：形如（k≠0，k为常数）的函数，就称y是x的反比例函数.

（3） 二次函数：一般地，形如（a≠0）的函数叫做y是x的一元二次函数，简称二次函数.

（4） 三角函数：三角函数常见的形式包括正弦函数（形如的函数）、余弦函数（形如的函数）和正切函数（形如的函數）.

（5） 指数函数：一般地，形如（a>0且a≠1） 的函数叫做指数函数，即以指数为自变量，幂为因变量，底数为常量的函数称为指数函数.

（6） 对数函数：一般地，形如（a>0且a≠1）的函数，叫做对数函数，即以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数.实际上，对数函数与指数函数互为反函数.

（7） 幂函数：一般地，形如（a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.

三、“数形结合”在中学常见函数中的应用

借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法.函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了“数形结合”的特征.我们从初中开始就开始学习函数问题，同时学习的解法也就包括“数形结合”.下面就针对为解决具体函数的某些性质而展现的相关题型。

1.一次函数：单调性、斜率与图像的关系问题、象限问题

类似的，解决一次函数象限问题时，若单单通过函数解析式，并不能很快速很准确的做到，常常很难直接得到答案，因此，借助图像的直观，我们就能很好的解决这个问题了.

例1：一次函数的图像经过第 象限.

解：充当中的k，此时大于0；

充当中的b，此时小于0；

则依据直线，当k>0，b<0时，图像如图3-1：

2.指数函数：值域、单调性、比较大小问题

通过图像，可以很明确的看出函数有两个根的范围在那一个阶段，从而得到未知数的取值范围.

例2：若关于x的方程（a>0，a≠1）有两个不等实根，则a的取值范围是（ ）.

A. B. C. D.

解：本题要对a分类讨论其取值范围：令，

当a>1时，其图像为（如图3-2）；当0

令，若方程有两个不等的实根，则需y1与y2的图像有两个交点，所以，即.

3.幂函数：取正值、取负值、取零

利用函数图像比较函数值得大小：一些数值大小的比较，我们可以转化为对应函数值，利用它们图像的直观性比较，例如：

例3：试判断0.32，，20.3三个数间的大小顺序.

解：这三个数我们可以看成三个函数，，在x=0.3时，所对应的函数值.在同一坐标系内作出这三个函数的图像（如图3-3），

从图像可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点P1，P2，P3的位置，从而可以得出结论：.数无形不直观，形无数难入微.总之，“数形结合”将数的精确与图的直观完美的结合，从而化难为易，化抽象为具体，帮助我们更好的理解，进而提高做题准确率.另外，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的.因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，解题时，充分利用“数形结合”，不断拓展我们的思维.在课程教学中也要注重“数形结合”思想方法的培养.在培养学生“数形结合”思想的过程中，要充分挖掘教材内容，将“数形结合”思想渗透于具体的问题中，在解决问题中，让学生正确理解“数”与“形”的相对性，使之有机的结合起来.让学生真正的将“数形结合”应用到解题当中去，真正地做到学以致用.

参考文献：

[1] 周春荔.数学观与方法论.北京：首都师范大学出版社，1996年8月第一次出版.