解后反思 效率倍增

李昌成 车燕昭

【摘 要】本文针对中学数学教学过程中，老师和学生都不同程度地缺乏解题后的反思，不知道怎样反思，结合作者教学经验从总结相关知识、落实通解通法、探索一题多解、尝试多题一解、注重变式训练、扭转思维定势等方面举例展示了如何进行解题后的反思。

【关键词】解题；反思；效率

【中图分类号】G633.8 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2018）15-0065-01

中学数学教学离不开解题，不少学生在数学上花费大量的时间和精力来完成大量的习题，但是收效甚微.原因是多方面的，其中一个重要原因就是缺乏解后反思.著名数学教育家波利亚的《怎样解题表》的主要内容之四是：检验与回顾.所谓回顾，就是现在提倡的反思，那么解题后我们该怎样反思呢？

一、总结相关知识

解题后回顾本题相关的知识，可以增加学习内容，提高解题的价值，让解题成为应用知识的主渠道，成为能力提升的好方法。

例1：已知球O外接于正四面體ABCD，小球O'与球O内切于点D，与平面ABC相切，球O的表面积为9π，则小球O'的体积为（ ）

A.〖SX（〗4π〖〗3〖SX）〗 B.4π C.6π D.〖SX（〗32π〖〗3〖SX）〗

解析：设小球O'的半径为r，球O的半径为R，正四面体的高为h，则由题意得，R=〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗h，h=2r，即r=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗R，又球O的表面积为9π，即4πR2=9π，则R=〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，所以r=1，则小球O'的体积V=〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗πr3=〖SX（〗4π〖〗3〖SX）〗.故选A。

二、落实通解通法

有些题，尤其是填空选择题，可以通过特值法快速得解，我们解完后应该落实其通解通法，以达到巩固知识，掌握方法，提高能力的目标。

例2：在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线C：〖SX（〗x2〖〗a2〖SX）〗-〖SX（〗y2〖〗b2〖SX）〗=1（a>0，b>0）的一个焦点为（2〖KF（〗2〖KF）〗，0），过双曲线上的一点M作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点A，若△OMA的面积为1，则其离心率为〖CD#2〗.

解析：本题点M没有限制，我们取其为左顶点，此时△OMA为等腰三角形，底为a，

高为|-〖SX（〗b〖〗a〖SX）〗·（-〖SX（〗a〖〗2〖SX）〗）|=〖SX（〗b〖〗2〖SX）〗，S△OMA=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗·a·〖SX（〗b〖〗2〖SX）〗=1，ab=4，又a2+b2=c2=8，解得a=b=2，e=〖KF（〗2〖KF）〗.

本题中sin∠OAM=2·〖SX（〗b〖〗c〖SX）〗·〖SX（〗a〖〗c〖SX）〗=〖SX（〗2ab〖〗c2〖SX）〗的处理方法，沟通了三角与几何，进而可以与正余弦定理联系上.此法处理下面一题堪称一绝。

三、尝试多题一解

数学题是可以归类的，有的类型明显，有些不明显，通过深入研究到达准确归类，减少习题量，减小学生的负担，归类的过程也就是能力提升的过程。

例5：已知正方形ABCD的边长为2，E在AB边上运动，则DE〖TX→〗·DC〖TX→〗的最大值为〖CD#2〗.

例6：已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，，点P在边AB上运动，则CP〖TX→〗·CB〖TX→〗+CP〖TX→〗·CA〖TX→〗=〖CD#2〗.

例7：在△ABC中，AD⊥AB，BC〖TX→〗=〖KF（〗3BD〖KF）〗，|AD〖TX→〗|=1，则AC〖TX→〗·AD〖TX→〗=〖CD#2〗.

例8：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，点P在边BC，CD上运动，则AC〖TX→〗·AP〖TX→〗的取值范围是〖CD#2〗.

以上4例，可以利用平面向量基本定理结合数量积求解，但是都不算简洁，它们都可以利用向量的投影快速解决，尤其是例8.请读者体验一下。

四、注重变式训练

有研究表明，如果教学仅仅呈现解决问题的具体情景，学生并不能够形成解决问题的模式，不能形成迁移。即使在具体情景中提炼出解决问题的规则，也不一定能够形成清晰的模式，也不一定产生向新的问题情景迁移。必须在变式的问题解决过程中，不断与已经提炼过的规则进行比较，才能够内化产生特定的问题解决模式。

例9：已知P，Q是抛物线y2=2px的两个动点，OP，OQ（O为坐标原点）是两条互相垂直的弦，则PQ过定点〖CD#2〗.

解析：设P（2pt21，2pt1），Q（2p2t1，2pt2），则kPQ=〖SX（〗1〖〗t1+t2〖SX）〗，

所以，OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=4p2（t1t2）2+4p2t1t2=0，t1t2=-1

直线PQ：y-2pt1=〖SX（〗1〖〗t1+t2〖SX）〗（x-2pt21），即（t1+t2）y-x+2p=0（2，0）

所以直线PQ过定点（2p，0）.

反之，是否也成立吗？

变式1：已知P，Q是抛物线y2=2px的两个动点，直线PQ恒过定点（2p，0），试证明：OP⊥OQ（O为坐标原点）.

此命题也可表示为：如果P，Q是抛物线y2=2px的两个动点，直线PQ恒过定点（2p，0） ，那么以线段PQ为直径的圆经过原点.

事实上，这个逆命题也成立，请读者证明.值得关注的是此命题在2005年北京春季高考和2017年全国3卷中有直接考察.后者题为：已知抛物线C：y2=2x，过点的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原O点在圆M上.

由互相垂直的弦得到了OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=0，进而得到定点.若OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗为其他值呢，是否类似结论呢？换言之，是否也有定点出现呢？

变式2：已知P，Q是抛物线y2=2px的两个动点，满足OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=-p2，证明直线PQ过定点（p，0）.反之也成立.（请读者自己完成）

变式3：已知P，Q是抛物线y2=2px的两个动点，满足OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗p2，证明直线PQ过定点（〖SX（〗p〖〗2〖SX）〗，0）或（〖SX（〗3p〖〗2〖SX）〗，0）.反之也成立.（请读者自己完成）

类似问题在2006年上海高考中考察过：在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=2x相较于A，B两点.求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA〖TX→〗·OB〖TX→〗=3”是真命题.

五、扭转思维定势

思维定势容易使我们产生思想上的防性，养成一种呆板、机械、千篇一律的解题习惯。当新旧问题形似质异时，思维的定势往往会使解题者步入误区。大量事例表明，思维定势确实对问题解决具有较大的负面影响。当一个问题的条件发生质的变化时，思维定势会使解题者墨守成规，难以涌出新思维，作出新决策，造成知识和经验的负迁移。

教学反思是一种大有裨益的思维活动和再学习活动，也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程。解题是数学教师和广大学生必须面对的日常工作，解后反思是教学反思的一个重要组成部分。一个优秀教师和学生的成长都离不开教题反思这一重要环节。解题反思能激发学习的自觉冲动，不断的反思会不断地发现困惑，从而促使自己努力探索，实践出真知，提升自身的水平。

作者简介：李昌成，四川资阳人，汉，1977.09生，数学高级教师，乌鲁木齐市第八中学教研室主任，乌鲁木齐市学科带头人，新疆冉崇静数学教学能手工作室成员，研究方向：中学数学教育和教研。