浅谈傅里叶变换在图像处理中的应用

马晓凯 付禹

摘 要：傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法，该算法表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。本文简述了针对图像处理的二维离散傅里叶变换的理论基础、物理意义和基本原理。对图像增强与去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩应用到的方法进行了阐述。

关键词：傅里叶变换 图像处理 图像增强 特征提取

中图分类号：TN91 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）03（b）-0080-02

Abstract： Fourier transform is a very important algorithm in the field of digital signal processing. The algorithm shows that any continuous measurement of time sequence or signal can be represented as the infinite superposition of sinusoidal signals with different frequencies. The theoretical basis， physical meaning and basic principle of two-dimensional discrete Fourier transform for image processing are briefly described. The methods of image enhancement and denoising， edge detection， feature extraction and image compression are described.

Key Words： Fourier transform； Image processing； Image enhancement； Feature extraction

最初的傅里葉变换是作为热过程的解析工具被提出的。英文的Fourier transform有多个中文译名，如：傅里叶变换、傅立叶变换、傅立叶转换、傅氏转换、傅氏变换等，本文统一写作“傅里叶变换”。

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法，该算法表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

1 简述

根据维度、信号特性的不同，可简单将傅里叶变换划分为一维连续变换、一维离散变化、二维连续变换、二维离散变换等情况。二维连续傅里叶变换及逆变换公式如下：

其中，F（u，v）是函数f（x，y）的频率谱，变量u是对应于x轴的空间频率，变量v是对应于y轴的空间频率。对于一个尺寸为M*N的二维图像的离散傅里叶变换公式如下：

F（u，v）是该图像的频率谱。若定义F（w）的实部和虚部分别为R（w）、I（w），则相应的傅里叶变换幅度谱、相位谱的计算如下：

在图像处理的实际应用中，二维离散傅里叶变换的应用最为广泛。

2 物理意义

在数学角度，傅里叶变换可将函数转换为叠加的周期函数进行处理。在物理角度，傅里叶变换则是将图像从空间域转换到频率域，将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域，将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

3 基本原理

《图像处理》（冈萨雷斯）有一个形象的比喻：棱镜可以根据波长（频率）将光分解为不同的颜色。傅里叶变换则是数学上的棱镜，可以将函数基于频率分解为不同的组分。分析光时，光谱或频率谱是主要特性，同样， 傅里叶变换使我们能通过频率来分析一个函数。

根据傅里叶变换理论，满足条件的任何信号都可表示为一系列正弦信号的叠加。在图像处理中，即每幅灰度图像都可表示为由正弦信息叠加组成的图像。其中每个正弦信息由三个变量组成：频率、幅值及相位。经过变换的图像即是该图像频谱图（或功率图），在频谱图中，更加关心频率及幅值，舍弃了相位参数（在相位图中进行体现）。

在一维的情况下，图像对应的频谱图可表示为一个二维的坐标系，其中横轴为频率，纵轴为幅值。频率为0的横轴中心点代表直流频率，即整幅图像的平均亮度。其他频率为f的信号在图中表示为横坐标为f的一个单峰，峰值高度为该信号的幅值。

二维图像的频谱图形成与一维类似，只不过需对该二维图像分别进行列扫描和行扫描，并进行叠加。不同的是，该频谱图的横纵轴均代表频率，每个像素点代表一个正弦信号的频率值，该正弦信号的幅值由该像素点的亮度表示。在不移频的情况下，频谱图的中心点代表了该幅图像的直流频率（平均亮度），频谱图中存在越亮的点，说明灰度图中对比越强烈（对比度越大），频谱图中的点与灰度图中的点并无对应关系，而是反映了灰度图的梯度（灰度图中的明暗变化）分布。频谱图中的亮点多，代表图像较为锐利，反之说明图像较为柔和。

4 实际应用

傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用，主要应用方向有：图像增强与去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩等。其核心思想是使用傅里叶变换将图像由空间域转换至频率域，通过对频率域进行不同的运算操作，实现预期的图像处理效果。

图像增强与图像去噪：若简单将图像的频率谱划分为高频分量和低频分量，则其中的高频分量代表了图像的突变部分（即边缘信息），低频分量代表了图像的平缓区域（即轮廓信息）。图像增强和去噪即是通过不同的传递函数H（u，v）对频率函数F（u，v）进行卷积运算，得到新的频率函数G（u，v）。新的频率函数中，我们期望保留的频率信号被增强，期望去除的频率信号（噪声）被减弱。G（u，v）可通过傅里叶逆变换得到新的图像函数g（x，y），即增强和去噪后的图像。图像增强和去噪的核心在于传递函数H（u，v）的选取，根据功能的不同，可大致划分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。需要注意的是，很多情况下，图像增强和去噪本身是一对矛盾的存在，这种情况出现在噪声信号本身是与需增强图像的边缘信息混杂在一起的时候。

边缘检测原理与图像增强一致，图像的边缘信息即是频谱图中的高频分量，有效地保留并处理这些高频分量，以达到边缘检测的目的。

特征提取：图像特征可分为颜色特征、纹理特征、形状特征、空间关系特征等。颜色特征是一種描述图像表面性质的全局特征，包含了图像区域的所有像素点。该特征不能反映图像区域的方向、大小等变化，因此不能捕捉图像中的局部特征。常用的颜色特征提取方法有：颜色直方图法、颜色集法、颜色矩法、颜色聚合向量法、颜色相关图法等；纹理特征与颜色特征类似，也是一种全局特征，与颜色特征不同的是，纹理特征是基于全部像素点的统计运算而非基于单个像素点。纹理特征的优点在于具有旋转不变性，且具有较强的噪声抵抗能力，缺点在于分辨率、光照等条件不同的情况下提取的纹理特征差别较大。常用的纹理特征提取方法有：统计法、模型法、几何法、信号处理法等；形状特征是一种局部特征，常用的形状特征提取方法有：边界特征法、傅里叶形状描述法、几何参数法、形状不变法等；空间关系特征是指图像中分割出来的多个目标之间相互的空间位置或相对方向关系，这些关系可分为连接/邻接关系、交叠/重叠关系和包含/包容关系等。空间关系特征的使用可加强对图像内容的描述区分能力，但空间关系特征常对图像或目标的旋转、反转、尺度变化等比较敏感。实际应用中，仅仅利用空间信息不能有效准确地表达场景信息，还需要配合其他特征共同使用。

图像压缩：利用压缩编码理论，对频率空间进行重新编码及传输，可实现图像压缩的效果。由于图像相关性的明显降低，频率域的编码比空间域更为简单。

5 结语

傅里叶变换提供了一种思考世界新思路，正如人们所认知的空间域中的图像，可理解为无数频率域中彼此无关的正弦曲线的叠加投影，伴随着正弦曲线幅值、频率、相位的变化，投影出的便是缤纷灿烂的大千世界。而图像处理恰恰就扮演了这样一个幕后之手的角色，通过对频率域的筛选与改变，得到期望的图像。

参考文献

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