“学为中心”理念下几何定理教学的思考——以浙教版八年级下册《5.1矩形（2）》为例

☉浙江省宁波市四眼碶中学 单勤海

“学为中心”的核心理念是以学生的学习为中心，指的是教学中把学生作为教学的真正主体，让学生尝试自主学习和探究，通过生生合作与交流探讨，从而主动获取知识.定理是“图形与几何”板块最重要的学习内容，也是帮助学生形成归纳推理和演绎推理能力的重要途径.那么，在几何定理教学中如何落实学为中心的理念？最近，笔者探索了“学为中心”理念下几何定理的教学实践，在此和各位同行分享.

一、备课过程中的相关思考

笔者在深入研读教材和相关学习理念的基础上，思考了以下问题：

问题1：几何定理教学有哪些特点和规律

几何定理教学的目标是：感悟定理的来龙去脉，推导或论证定理并揭示其中有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧，体验定理的应用过程.因此，定理教学的一般步骤是：发现与提出问题→猜想与表达命题→推导与论证命题→巩固与运用定理.时下，在定理教学中，教师特别注重后两个环节，即“突出定理的识记和运用”，而忽视了前两个环节，即“定理的发现过程”.因此我们应该重视遵循定理的学习规律，设计几何定理的获得过程.

问题2：如何在定理课中体现“学为中心”的理念

学为中心的课堂有两个基本特征：一是学生尝试独立学习和合作学习，二是教师组织、引导和帮助学生学习，做学生自主学习的推动者和促进者.学为中心的初中数学课堂，学生学的关键是阅读、思考、交流、归纳、练习，教师教的关键是引导、启发、组织、帮助、小结.学为中心理念下的几何定理教学应着重于如何设计问题让学生发现和提出命题，如何让学生在讨论交流证明定理上下功夫，真正引导学生学，激发学生学.

问题3：本节课的教学目标是什么

本节课的主要内容是学习矩形的两个判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”.在本节课之前，学生已经学习过矩形的概念和性质.因此，通过本课的学习，学生不仅要掌握矩形的判定定理，学会运用判定定理来解决问题，还要在矩形判定定理学习的过程中进一步感悟定理的学习规律，用归纳推理来发现结论，用演绎推理来证明结论.

问题4：本节课的教学重点、难点是什么

由于特殊几何图形的判定是认识几何图形的重要组成部分，因此本课的教学重点是矩形的判定定理.本课中的例2是从中位线的平行转化直角来判定矩形，它的证明思路对学生来说有一定的难度.

二、课堂教学过程简述

教学伊始，师生共同回顾矩形的定义并根据矩形定义画出一个矩形.

1.问题引导，提出猜想

师：同学们，老师这里有一张不规则的四边形纸片：如图1，在四边形ABCD中，∠D=90°，你能仅用如图2所示的“直角三角板”裁剪出一个顶点都在四边形ABCD边上的矩形吗？

图1

图2

图3

图4

生1：如图3，用直角三角板过点A画AD的垂线与BC相交于点E，过点E画AE的垂线与CD相交于点F，则四边形AEFD就是矩形.

师：按他这样裁剪的四边形AEFD看起来确实很像矩形，你能说说为什么这样裁剪是矩形吗？

生2：因为∠DAE=∠D=90°，所以AE和DF平行.因为∠DAE=∠AEF=90°，所以AD和EF平行，所以四边形AEFD是平行四边形.又因为∠D=90°，根据矩形的定义，四边形AEFD是矩形.

师：很有道理！那么，由此你能得到如何判定一个四边形是矩形吗？

生3：“有三个角是直角的四边形是矩形”.

师：有三个角是直角，第四个角也一定是直角了，所以我们得到矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.能用符号语言表达这个定理吗？

生4：在四边形ABCD中，因为∠A=∠B=∠C=90°，所以四边形ABCD是矩形.

师：现在请大家根据判定定理1画一个矩形.（学生画，老师也在黑板上画一个）现在，请大家看我黑板上画的矩形（图4），你觉得我画的这个四边形是矩形吗？

生众：是的.

师：我看看也是的.（微笑）如果有一个直角三角板，我就去验证一下，是不是所有角都是直角.现在，问题来了，我手头只有一个如图5所示的圆规，你能用圆规来验证它是否为矩形吗？

同小组的一起讨论，试一试，再想一想你的猜想为什么正确.

图5

教学说明：本教学片断通过“用直角三角板裁剪不规则四边形”问题引出矩形判定定理1，用“圆规验证已知四边形是否为矩形”导出矩形判定定理2，让学生在问题解决的过程中发现判定矩形的命题，从而获得猜想寻求证明.

2.合作讨论，证明命题

师：哪一小组可以来说说你们的想法.

生5：我们讨论认为：圆规用三次，就可以验证它是否为矩形！首先，用圆规验证四边形的两组对边是否相等，来判定这个四边形是否为平行四边形.再验证一下两条对角线是否相等，如果相等，这个四边形就是矩形了.

师：两组对边分别相等得到平行四边形，这个我同意！现在你的意思是“对角线相等的平行四边形是矩形”，如何证明？

生6：如图6，由于已经知道了四边形ABCD是平行四边形，因此主要证明该平行四边形有一个角是直角.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，又AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB.所以∠ABC=∠DCB，而根据AB∥CD，这两个同旁内角互补，所以每个角都是直角.

师：很好！利用全等三角形得到对应角相等，再证明这两个正好互补得到直角！其他小组，还有不一样的证明方法吗？

用地政策是制约星光村乡村旅游进一步发展的最大障碍。虽然四川省也在积极探索宅基地三权分置，但是目前政策不明朗。星光村名气打响后，很多外来业主愿意到星光村投资，已入住的业主也想扩大规模，但是都因为用地政策突不破，新项目引进和规模扩大受阻，影响了星光村乡村旅游的进一步发展。

生7：如图6，由于四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，B0=DO.又因为AC=BD，所以AO=BO=DO，所以∠DAO=∠ADO，∠BAO=∠ABO.又因为∠DAO+∠ADO+∠BAO+∠ABO=180°，所以∠DAO+∠BAO=90°，即∠DAB=90°.

师：这样我们就得到了矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.用符号语言如何表示这个判定方法？

生8：在平行四边形ABCD中，因为AC=BD，所以四边形ABCD是矩形.

师：这样我们就可以用如图7的刻度尺来画一个矩形了.请大家根据矩形的判定定理2用刻度尺画一个矩形.

图6

图7

生众：（画图）.

师：哪位同学能够描述一下自己的画法吗？

生9：先用刻度尺画一条线段，然后找到中点，再画一条和原线段等长的线段，并且以原来线段中点为第二条线段中点.顺次连接两条线段的端点得到的四边形为矩形.

生10：因为对角线互相平分，所以所画四边形是平行四边形，因为对角线相等，所以该平行四边形是矩形.

教学说明：本节课的难点是获得矩形判定定理2，在学生获得猜测并经过小组合作讨论以后，让学生展示多样的证明方法，感悟合情推理用来发现结论，演绎推理用来证明结论.在每一个判定定理得到后，都让学生从文字语言翻译成符号语言，规范几何的书写与表达.值得说明的是，在每一个判定定理后，都让学生思考如何借助“直角三角板”、“刻度尺”等工具来画出图形，培养学生平时养成良好的画图习惯.

3.练习运用，巩固定理

教师出示以下练习，学生独立思考完成.

出示以下练习：

1.如图8是由16个全等的小正三角形构成的网格，请你利用网格的格点画出一个矩形，并说明理由.

图8

图9

图10

图11

2.如图9，BC是等腰三角形BED的底边ED上的高线，四边形ABEC是平行四边形.

求证：四边形ABCD是矩形.

教学说明：本片断配备练习1的目的是让学生巩固矩形判定定理2，学生展示了图10、图11的图形思路的获得过程.练习2的目的是让学生学会严谨规范地书写证明过程，本题既可以用矩形的定义来证明，也可以用矩形判定定理2来证明，让学生学会根据题目的条件合理选择证明方法.在完成这些练习后，让学生围绕图12填写依据，进一步归纳矩形的判定方法，学会有条理地证明.

图12

4.例题讲解，拓展运用

出示课本例2：

例2 一张四边形纸板ABCD形状如图13所示，它的两条对角线互相垂直.若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？

图13

图14

主要教学过程如下：先让学生尝试解决例2中的问题，再阅读课本116页思考下列问题：（1）本题证明矩形的每一步依据是什么？（2）还有其他证明方法吗？学生在阅读后说明了每一步的依据，厘清了产生直角的思路：以中位线的方法产生了直线平行，从而以两次平行线推理出一个内角为直角.这样重复三次可以得到三个角为直角，从而得到该四边形是矩形.在学生完成例题和书上的练习后，教师再次帮助学生一起梳理证明矩形的方法：可以考虑先证明这个四边形是什么四边形？如果是平行四边形，那么就再证明一个直角或对角线相等，以定义或判定定理2，证明这个平行四边形是矩形.如果无法证明该四边形是平行四边形，那么可以通过证明三个角为直角来直接判定矩形.

教学说明：例2从四边形ABCD中裁剪出一个矩形，方法有很多（如画图说明），但是这种方法学生无法证明.所以，我们让学生先独立思考再阅读课本例2的解题过程，作为判定的具体应用.然后再一次梳理证明矩形的方法.值得说明的是，在学为中心的课堂里，我们把“反思与归纳”渗透在课堂教学的各个环节中，课尾的归纳就是对历次归纳的再次强化和升华.

三、“学为中心”理念下几何定理教学的思考

1.以问题（或问题情境）激发学生思考，感悟定理的发现和提出过程

当前，许多教师非常重视定理的识记和套用，但常常忽略定理的发现和提出过程.笔者认为，定理教学应该重视命题的提出和直观理解的过程，应该创设一些问题或者问题情境让学生去发现一些对他们而言是新的数学结论，并体验发现的过程.让学生经历数学定理发现和提出的过程，这不仅有利于学生获得一些研究几何对象的方法和经验，更有利于培养学生发现问题和提出问题的能力，这些能力促进了学生实践和创新能力的提高，形成良好的数学素养.让学生经历定理发现和提出的过程，主要有两种途径：一是设计问题让学生在解决问题的过程中发现新命题；二是构造原命题的逆命题发现新命题.如在本课教学中，笔者有意设计了两个问题“仅用直角三角板如何裁剪出矩形？”“仅用圆规如何验证一个四边形是否为矩形？”让学生在问题解决的过程中发现矩形的判定定理.

2.放手学生思考和讨论，探索形成多样化的证明思路

在几何定理学习过程中，许多教师认为定理的证明不会考，因此可以少讲甚至不讲，所以定理证明往往是匆匆过场而急于运用，试图通过大量的解题训练来掌握定理.事实上，学生寻求命题证明思路的过程就是反复熟悉命题题设的过程，也是熟悉命题结果的过程，这对定理运用中寻求和构造定理的条件并获得结论提供了方向引领和有力支撑.如本教学片断中通过证明对角线相等的平行四边形是矩形这个定理，使得学生在解决其他问题时明确求证平行四边形，寻找对角线.在“学为中心”的课堂里，我们放手让学生独立思考、自主讨论，获得多样化的证明思路.在进行交流展示时，要特别注重“不要说解题过程”，而是“要说思路的获得过程”，让更多的同学学会“怎样想问题”.特别要注意的问题是学生的自主性学习并不是自由性学习，在组织学生自主阅读、讨论的过程中，教师要巡视教室，发现难点，有意识地参与某些小组的讨论，搜集学生的思考信息.

3.搭建阅读和书写平台，养成严谨规范的表达习惯

一般地，书写几何定理的证明和运用过程不像代数问题“算下去看着办”，而是先通过图形获得解决问题的思路，有了解决问题的整体框架再规划书写解题过程.同时，书写表达解题过程，也呈现了解题者的思路，形成了做事的习惯.在“学为中心”的课堂里，我们特别重视学生的“表达”：让小组组员间互相说解题过程，通过投影展示学生的解法，纠正学生书写中的跳步、叙述烦琐和不当的现象，通过教师的示范板演让学生学会几何定理文字语言和图形语言、符号语言之间的互相转换，通过阅读模仿课本的例题进行书写.如本课教学中，我们让学生阅读定理和例2的证明过程，既是理清思路，也是学习书写表达的过程.

4.重视几何定理教学的工具意识，强化定理的巩固与运用

定理形成后，还要进行及时巩固与运用.一般地，定理的运用分为直接运用与变式运用.直接运用就是所提供的试题的条件完全与定理的条件吻合，学生直接运用定理的条件进行证明或者计算，它的主要目的是加深对定理的理解与记忆.变式运用需要学生根据题目的已知条件进行计算、推理或者构造得到符合定理条件的几何模型，再运用定理解决问题，它对学生的数学分析问题和解决问题的能力提出了较高的要求.但是，定理的运用并不是单纯地做题！在本课教学中，笔者在学生获得矩形的判定定理1后，让学生用直角三角板画矩形，在获得矩形判定定理2后让学生用刻度尺画矩形，设置练习1的网格图用直尺画矩形，例2让学生尝试用刻度尺画出图形，通过探究、验证和利用定理画图，使学生在课堂活动中体会如何寻求定理的条件，这些练习让学生运用日常学习的常见工具（直尺、圆规、刻度尺、三角板）来解决问题，既有操作的载体，又体现工具的作用，让动手成为学习的习惯，通过工具的灵活运用掌握探索几何命题的方法.

总之，学为中心理念下的几何定理教学要充分发挥学生的主观能动性，以适合学生自主性的课堂活动为主要教学组织方式，努力发展学生的自我学习能力，养成会思考、会阅读、会实践、会归纳、会提升的数学学习习惯.