数学学科德育渗透的实践与思考*——以浙教版八年级上册“平面直角坐标系”为例

☉浙江省宁波市镇海蛟川书院 陈 丽

成尚荣在《最高目的》中指出：道德是教育的最高目标.课堂是学校教育的主阵地，而数学学科又是学校学习的重要学科.数学的课堂不应该只是逻辑符号，也应该是渗透德育的载体，但是数学学科德育又有别于一般意义的德育.数学学科德育是指挖掘数学课程本身固有的德育元素，在数学观念、理性精神以及学习品质等方面进行的教育活动.数学课程中的德育元素包括两个方面，其一是数学课程本身固有的内在德育元素，其二是指能够激活、弘扬德育元素的教学情境.数学学科的德育课堂，不仅仅是让学生获得知识，而应该是超越知识且终身受用的东西，落实立德树人.那么如何在平时的数学课堂教学中落实学科德育呢？本文笔者以浙教版八年级上册“平面直角坐标系”为例，谈谈自己的一些尝试和感悟.

一、教材分析及学科德育价值挖掘

“平面直角坐标系”是在学生学习了数轴与有关几何知识，掌握了数轴上的点与实数是一一对应的基础上，进行函数图像教学的第一节课.平面直角坐标系是数轴的发展，它的建立，使代数的基本元素（数对）与几何的基本元素（点）之间一一对应，实现了从一维空间到二维空间的发展，构成更广阔的范围内的数形结合、互相转化的理论基础.课堂实施中，笔者设计有效的数学活动，让学生感受不同方面的数学知识之间、数学与生活之间的联系，体悟数学是发展变化的，但变化中总有一些东西是始终不变的，培养学生严谨求实的学习习惯和推理论证能力，在对立与统一中培育学生的数学理性精神.

本节课数学活动贯穿始终，教师以问题引领，引发认知冲突，提出问题，激发学生的探究热情，通过自主探究和共同讨论，找到解决问题的方法，并归纳为规律和经验，让学生经历知识的形成与应用的过程，对学生数学抽象、数学建模、直观想象这三点核心素养的培养都有极高的价值.

课中穿插数学文化和数学史的相关情境，通过数学史内容的渗透，积淀学生的数学文化涵养，激发学生的数学研究热情，感悟数学家的严谨态度与不懈追求.

二、基于数学学科德育，创新教学设计

1.问题引领，树立科学思维

师：如图1，如果老师将同学们的座位抽象成如图1所示，约定：排（列）之间等距，同排（列）相邻两人之间距离为1个单位.以O同学为基准位置（请O同学戴好小红帽），那么A同学你的位置相对于O同学来说在哪里？

生：我在O的右边一个位置.

师：O同学，你是基准位置，你今天是我们班的主角，如果老师首先想用一个数来确定你的位置，你计划用哪个数？

生：我想用0.

师：如果规定向右为正，那么A同学你的位置可以用一个什么样的数表示？

生：1.

师：B同学呢？

生：-1.

师：我们把O同学所在的行抽象成一条直线，规定了原点，单位长度，正方向，这是我们学过的什么？

生：数轴.

师：请与O同学同排的同学依次报出自己的位置所对应的数.（学生依次说出自己的位置所对应的数）

师：C同学，你的位置相对于基准O同学来说在哪里？

图1

生：我在O的前面一个位置.

师：如果规定向前为正，那么C同学你的位置可以怎么表示？

生：1.

师：噢？那老师有困惑了，A同学可以用1表示，C同学也可以用1表示，他们的位置一样吗？

生：不一样

师：既然位置不一样，那能同时用1来表示吗？怎么办呢？可以前后四人小组讨论.

（此时学生都满脸困惑，经过大家讨论后，有学生举手）

生：这里要用两个数表示，A同学为（1，0），C同学为（0，1）.

师：太棒了，你用到了我们上节课学习的有序数对，为什么A同学为（1，0），C同学为（0，1）呢？

生：我们上节课在学习有序数对时，一般规定列号写在前，行号写在后.

师：如果作这样的规定的话，那么基准位置O同学应该怎么表示？

生：O同学用（0，0）表示.

（这时依次请与O同学同排同列的同学用有序数对来表示自己的位置，并戴上小黄帽）

师：那么D、E、F的位置可以用怎样的有序数对表示？

生：D（2，1），E（－2，2），F（-1，－2）.

师：我们发现，选择合适的基准位置，规定向右为正，向前为正，选择合适的单位长度，同学们的位置就可以用有序数对来确定，其实这样我们就建立了平面直角坐标系，而今天就让我们一起来认识平面直角坐标系.

【设计意图】通过问题引领，激发学生的认知冲突，发现一个数无法表达平面的点，实现从一维到二维的跃迁.让学生经历平面直角坐标系的建立过程，体验平面直角坐标系引入的有效性和必要性，感悟数学的严谨、规范，培养理性精神.另外，由于学生对平面直角坐标系与数轴的关系以及两条坐标轴在三要素上的联系存在理解上的困难，可以通过这样的问题引领探究过程，从学生的最近发展区出发，引导学生发现问题、探究问题，并通过已学有序数对的经验解决问题，进而突破难点，体验数学家的思考之路.这样不仅可以引导学生树立问题意识，还能更好地培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力.

2.活动探究，自主建构概念

2.1 理性概括，感悟数学思想——概念1：平面直角坐标系

师：请观察两条数轴有什么特点？

生：互相垂直.

师：很好，你们看到了两条数轴的位置关系，还有吗？

生：两条数轴的原点重合.

师：你们观察得很仔细，两条数轴有公共的原点O，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系.我们把两坐标轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点，水平的一条数轴叫做x轴（又叫横轴），与x轴垂直的数轴叫做y轴（又叫纵轴），坐标系所在的平面叫做坐标平面.

【设计意图】引导学生科学严谨地给平面直角坐标系下定义，进一步深化平面直角坐标系与数轴的关系以及两条坐标轴在三要素上的联系，让学生体验数学抽象、数学建模的过程和价值.

2.2 动手作图，提升学习能力——概念巩固

选取适当的单位长度，画一个平面直角坐标系.

【设计意图】实际操作过程中学生出现箭头没标注，或者箭头标反，刻度值标错，没标刻度值，没有单位长度，只有单向刻度值等问题，通过投影仪展示、比较及纠错，让学生准确把握概念，准确使用模型.培养学生的自主学习能力、动手操作能力，提高学生自主学习的积极性和有效性，形成良好的数学学习习惯.

2.3 对比原有知识，生成新概念——概念2：象限

师：x轴和y轴把坐标平面分成几部分？

生：四部分.

师：从右上区域开始，按照逆时针方向，依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

师：请第一象限的同学起立.

（这时坐标轴上的同学在犹豫自己是否属于第一象限）

师：这里我们有个约定，规定坐标轴上的点不属于任何象限.

（依次请每个象限的同学起立，然后分别请x轴、y轴上的同学起立，这时，原点O同学起立了两次，露出了别样的神色）

师：你们看O同学得意地笑了，他站起来两次，请问原点在哪里？

生：原点既在x轴上也在y轴上.

【设计意图】以同学的座位建立平面直角坐标系，在此基础上，提出象限的概念，形象直观，但是第一象限的同学在起立时，坐标轴上的同学会产生疑惑，在认知冲突中体验约定坐标轴不属于任意象限的必然性和科学性，通过原点同学起立两次，形象直观地发现原点既在x轴上也在y轴上.基于学科德育视角的思考，在充分的数学活动中形成概念，让学生真正感受数学抽象与数学建模.

图2

2.4 经历探索过程，架设数形桥梁——概念3：点到坐标

师：如图2，平面直角坐标系中的点P可以用有序数对来表示它的位置吗？

生：（2，3）.

师：你是怎么得到呢？

生：过点P向x轴作垂线，垂足对应的数为2，过点P向y轴作垂线，垂足对应的数为3.

师：很好，对于平面内任意一点M，如图2，过点M向x轴作垂线，垂足对应的数为a，过点M向y轴作垂线，垂足对应的数为b，则有序数对（a，b）叫做M的坐标，记作M（a，b），a叫做点M的横坐标，b叫做点M的纵坐标.

师：请同学们归纳下，坐标书写要注意些什么？

生：要加括号，横坐标写在前面，纵坐标写在后面，还要用“，”隔开.

师：你们归纳的非常棒，总结起来就是横前纵后加括号，中间不忘加逗号.

【设计意图】通过科学的设计，利用有效的数学活动来引导学生进行探究，帮助学生用好已有经验，并不断积累新的探究活动经验，进一步感受思想方法，体验数学中的变与不变，从一般到特殊，实现从感性感知到理性归纳，让学生在分析和解决问题的过程中发展探究能力.

2.5 动手实践，增强新体验——巩固概念

例1 如图2，请同学们写出图中点的坐标.

【设计意图】由点求出坐标的过程中，学生容易因为概念不清或混淆导致坐标求解错误，通过掌握不同位置坐标的形成过程，体验和巩固求解点的坐标的方法.

2.6 由数到形，深化数形结合——概念4：坐标到点

例2 请在坐标平面内画出下列各点：A（1，4），B（0，－3），C（－2，－1），D（－5，－1.5），E（－3，－3），F（1，0），G（2，－3），H（4，－1.5），I（1，－1），描好后同桌互相检查.

（同学们描好点后，老师将点连接成如图3所示的小帆船的形状，如图）

师：希望同学在数学的海洋里能够迎风破浪，扬帆起航.

图3

【设计意图】让学生亲身经历在平面直角坐标系中由坐标找点，由点描坐标的过程，从数和形两方面加深学生对坐标和点之间关系的理解，巩固探究成果，为后续的坐标应用作好铺垫，也充分让学生体会数形结合的思想.

2.7 自主探究，发展空间观念——概念5：坐标的符号特征

（请同学们写出自己位置所对应的坐标，请x轴上的同学依次报出自己的坐标.）

师：你们发现x轴上的坐标有什么特征？

生：纵坐标为0.

（请y轴上的同学依次报出自己的坐标.）

师：你们发现y轴上的坐标有什么特征？

生：横坐标为0.

（请第一象限的同学依次报出自己的坐标）

师：请同学们观察第一象限的坐标的符号有什么特征？

生：横纵坐标都为正.

师：请同学们思考第二、三、四象限的坐标符号有什么特征呢？并小组讨论.

生（同学们齐声回答）：第二象限横坐标为负，纵坐标为正；第三象限横、纵坐标都为负；第四象限横坐标为正，纵坐标为负.

【设计意图】学生在学好平面直角坐标系概念的基础上，在数学活动中自主探究出特殊点的坐标特征，规律的形成自然、真实，培养了学生的探究精神，为以后学习函数图像打下基础，同时让学生初步感受数与形之间的密切联系，进一步发展空间观念.通过数学活动，引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，整个数学活动过程自然真实，学生从概念出发，自觉自主地进行严密有逻辑的思考，凸显了数学学科德育中的理性精神.

3.寓教于乐，激发学习热情

环节1：先找一个同学，让他找一个不在同一象限内的同学，并报出他的坐标，然后被叫起的同学继续完成游戏.

环节2：请横坐标为3的同学起立，发现横坐标为3的点所在的直线与y轴平行.

环节3：请纵坐标为-1的同学起立，发现纵坐标为-1的点所在的直线与x轴平行.

环节4：请横纵坐标加和为0的同学起立，发现横纵坐标加和为0的点在二四象限的角平分线上.

【设计意图】通过游戏活动，放松学生、激发兴趣的同时也高效合理地复习巩固了整节课的重点，寓教于乐，互动性强，学生热情高涨.同时，让学生在游戏中深化对知识的理解，将数学中抽象的，学生难以理解的图像用学生的座位形象直观地表达出来，形成视觉冲击，变成学生易于接受，容易理解的问题，进一步深化数形结合的思想.张奠宙先生认为：数学教学中体现德育的前提是“让学生喜欢数学”，衡量一位数学教师实施德育是否成功的标准是“学生是否热爱数学”，可以说，让学生热爱数学是数学学科德育的基点.

4.追溯文化，提升学习兴趣

用数学家笛卡尔的故事激励同学们，我们今天的发现之旅其实就是伟大数学家笛卡尔的伟大发明，增强学生的求知欲和成就感.

【设计意图】通过介绍平面直角坐标系的创始人——笛卡尔，用数学文化积淀学生的数学涵养，激发学生的探究兴趣和学习热情.华东师范大学数学系汪晓琴教授说过，数学史是培养数学能力和实施数学素质教育的关键所在.

5.总结归纳，提升理性精神

问题：我学会了…；使我感触最深的是…；我发现生活中…；我还感到疑惑的是……

一个创立：直角坐标系

一位数学家：笛卡尔

二个技能：给点写坐标；给坐标描点

【设计意图】小结中设计开放性问题，让学生畅所欲言，把主动权充分给学生，听听学生能够表达些什么，数学的、非数学的，通过常规问题的提问交流，帮学生理清本节知识的特质，分析清楚数轴与平面直角坐标系的关系，并为后续空间内点的定位做好铺垫，帮助学生认识数学知识之间是有联系的，数学是发展的，将知识体系和思想方法不露痕迹地渗透给学生.

6.融情寄语，促进和谐发展

师：其实人生就是一个以时间为横轴，以价值为纵轴的坐标系，每个人都要找准自己的位置，勇于挑战，善于思考，同学们一定能在自己的坐标系中勾画出属于自己真实辉煌的点，打造自己精彩的人生.

【设计意图】联系课题，提出期望，鼓舞人心，值得学生回味.

三、基于课例的几点思考

孙琪斌团队在开展数学学科德育的研究过程中，对数学学科德育作了如下界定：数学学科德育是指从德育的视角挖掘数学课程本身固有的德育元素，用润物细无声的方式在数学观、数学思想方法、数学文化和数学学习品质等方面进行的教育活动.数学学科的德育应渗透在数学活动中，渗透在教师的一言一行中.

1.数学学科德育视角下的数学课堂须着眼于促进学生形成正确的数学观

数学观是人们对数学的本质数学思想以及数学与周围世界联系的根本看法和认识，是数学行为的先导，它决定学生学习数学的态度，从事数学活动的意识和方式，用数学处理实际问题的能力，影响学生进一步数学成就的取得（Schoenfwld，1983）.因此要想数学教学朝着理想的方向发展，在数学教学中首先应该培养学生树立正确的数学观.实际操作中，教师可以根据教材提供的实际素材，设计有效的数学教学活动，促进学生形成正确的数学观.本课例中，数学活动贯穿始终，让学生感受到数学是有趣的，是具体的，在实际生活中是有用的.课例以“一维数轴定位，二维平面定位的探究归纳，课末展望三维空间的定位”为全课主线，合理类比，有效归纳，让学生充分感知数学是充满联系的，是发展变化的.

2.数学学科德育视角下的数学课堂须着眼于渗透思想方法

数学思想方法好比是一座建筑的地基，它是数学学习的灵魂，是智慧的源泉.发展和提升学生数学核心素养是数学教育的目的和归宿，而数学思想是数学核心素养的重要体现.数学德育视角下的数学课堂应该在基础知识的教学和基本技能的训练之中无形地渗透数学思想方法.本课例中，以一维坐标轴为起点，从学生熟悉的场景中引发认知冲突，遵循适度原则，在学生的思考过程中，循序渐进地达到知识点的自然衔接，让学生在问题情境中充分感受平面直角坐标系引入的必然性和科学性，深刻体会数学抽象与数学建模思想.后续的教学中，学生在探究画平面直角坐标系、由坐标找点、由点找坐标、象限内点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征等活动中，通过尝试、探索、归纳，不仅掌握了相关的知识和技能，而且感悟了转化、数形结合、类比、特殊到一般、建模等数学思想，加深了对平面内的点与坐标之间一一对应关系的认识，有效地发展了学生的思维能力.

3.数学学科德育视角下的数学课堂须着眼于积淀数学文化

恩格斯曾说：历史从哪里来，思维就从哪里开始.在数学教学中渗透数学史、实施数学文化教育，不仅可以让学生全面地了解数学，更可以培养情操、启迪思维、促进理性精神的养成.本课例中，通过介绍平面直角坐标系的创始人——笛卡尔，用数学文化积淀学生的数学涵养，激发学生的探究兴趣和学习热情.再由坐标描点环节，把点连成“帆船”图案，借机鼓舞学生，课末的融情寄语环节，教师充分利用本节课的知识内涵，提出期许，让学生感觉数学的课堂不是只有冷冰冰的数学知识，而是有温度的，是可以浸润人心的文化.

4.数学学科德育视角下的数学课堂须着眼于关注学习品质

孙琪斌团队认为数学学科德育研究的数学学习品质主要包括：好奇与兴趣（探求新问题、寻找新方法的好奇心以及对数学问题的兴趣、解决问题之后的成就感是学会数学、学好数学、享受数学的前提）、专注于坚持（在数学解题过程中养成全神贯注的习惯与坚持不懈的精神，在数学交流表达的过程中不断地追求简洁、准确、精益求精是学会数学、学好数学、享受数学的关键）、想象与创造（数学抽象、数学推理、数学建模的过程中蕴含着想象与创造，也孕育着想象与创造）、反思与解释（追求一题多解、一题多变以及多题归一的过程离不开持续反思；定义研究对象、建立运算法则，我们常常需要思考为什么这样定义？为什么这样建立运算法则？凡此种种都属于反思与解释）.

本课例中，在数学活动中让学生切实感受概念的生成；在游戏活动中让学生深化对知识的认识，培养了学生主动探索的学习能力，让学生真切体会到数学学习的乐趣.在概念的生成与探究过程中，充分感受数学抽象与数学建模，发展学生的想象与创造，通过对知识的学习，能够从数形的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界.本课例从引入到问题解决自始至终向学生渗透数学应用意识，培养了学生应用数学的能力，体现了数学来源于生活，又高于生活，数学与人们日常生活息息相关.

四、潜心提取学科素养中“德性”的养分，浇灌智慧学习的花朵

德育并不一定是文科老师的专利，在数学教学中，教师也可以潜心提取学科素养中“德性”的养分，助力核心素养落地生根.以下是笔者在平时教学中总结的德育点.

数看实质，式看形式——初一新生活既需要形式多样丰富多彩的活动，又需要体会各种活动的真谛，尽快适应新同学，新老师，新环境，新要求，就如同我们要尽快走出小学算术的乐园，尽快走进字母代数的新天地！

问道于零，关注特殊——零的特殊性在实数的学习中，我们总结了若干个特性：零既不是正数也不是负数；零是最小的自然数；零的平方、立方、平方根、立方根、绝对值都是零；零大于一切负数，小于一切正数；零在加减乘除运算中的特殊性等等，学生用这种方法去解决实数的概念理解问题会方便很多，以至于生活中跟他们讲关注特殊人群，关注特殊的社会问题等深刻的道德问题，甚至高深的哲学问题时，他们似乎也能更好地理解.

事不过三，是我处理学生错误的原则之一，当它与“规律题”的思考方法结合在一起的时候，学生们记忆尤深——准确地找推一二三，事不过三观察猜想，用四来验证.

学以致用——学了什么，什么就是一种方法，常见的“字母代数”、“方程方法”、“数轴法”、“绝对值法”、“因式分解法”等等，都是如此产生的.而每一种方法都依托于一种知识，我们既可以理解为水到渠成，又可以理解为相辅相成，这就是思想与方法，也是数学与哲学.

狠准抓“七寸”，对于难度大的问题，我们只要抓住它的“七寸”，如同毒蛇与巨蟒，瞬间没了攻击力；审题多方式，抓题眼，列表格，用基本关系式等等，处理问题的方法总比困难多；多设元，设而不求——退一步海阔天空.

很多时候，很多地方，只要我们用心地去体会每一个教学活动，学科中“德性”的养分很多，注意汲取，注意提炼，长期以往就会沉淀出“数学的气质”——严谨，细致，灵活，有序，重点突出，及时调整等都是教育应该追求的“素养”.十几年后，我们所学的知识用不到了，但学知识过程中培养出来的方法、能力和意志力却终身受益.

教育的真谛是教育不改变生活环境，却能改变人的思维方式，最后奉上萧文强教授的一句话来与大家共勉：为教人而教书，由教书而教人，做学养型教师，学无止境，教无止境.