滚动轴承故障动力学建模及振动响应特性分析

龙建，王志刚，徐增丙

(武汉科技大学 冶金装备及控制教育部重点实验室，武汉 430081)

信号分析方法是目前常用的轴承故障诊断方法[1]，但此类方法缺乏对故障机理的深入研究。通过对轴承动力学模型的深入分析，了解故障轴承的振动响应特征，揭示故障状态中动力学参数与响应信号的内在联系，可以为故障诊断提供理论依据。

目前，国内外学者对滚动轴承故障的动力学模型进行了广泛的研究。然而，二自由度弹簧阻尼模型只考虑了内圈的运动，无法对滚动体的运动进行研究，不能真实反映轴承内在响应作用机理；且现有模型大多采用球匀速公转假设，并提前给定球的运动状况，并未考虑球与沟道间的相对滑动[2-5]。为更全面地模拟轴承动力学特性，文献[6]建立了完整的轴承动力学模型，模型中的每个元件都具有6个自由度，但Gupta模型只考虑了正常轴承，未考虑故障轴承的动力学行为。另外，在实际工程中复合故障经常存在，而现有轴承动力学模型大多以单点损伤为主[7-8]，鲜少研究轴承的复合故障。

基于此，为更加真实和精确地反映轴承内部动力学行为，以Gupta模型为基础，结合局部损伤模型，充分考虑球与内外圈间的相互作用，对轴承单点损伤及复合故障轴承的动力学模型及响应特性进行分析，为滚动轴承故障诊断提供一定的指导作用。

1 轴承动力学建模

1.1 正常轴承模型

考虑到深沟球轴承及其支承结构的复杂性，为方便建立整个系统动力学模型，进行下列假设：所有零件的质量中心与几何中心重合；球与沟道间只存在局部弹性变形；忽略球与保持架的相互作用；忽略热效应引起的零件变形的影响。

轴承动力学建模主要包括求解轴承零件间的相互作用及相对滑动速度等，据此计算球与沟道间的作用力。为了模拟轴承零件的运动，首先定义了各种坐标系，包括固定于空间的惯性坐标系及固定于轴承零件中的定体坐标系等。定体坐标系有球定体坐标系Obxbybzb，套圈定体坐标系Orxryrzr(图中以外圈为例)。另外，为了计算球与沟道间的相互作用，定义了接触坐标系Ocxcyczc，如图1所示。

图1 滚动轴承坐标系Fig.1 Coordinates of rolling bearing

图1中，位置向量rb和rr分别确定了球质心和套圈质心在惯性坐标系中的位置。可通过球质心相对于套圈沟道曲率中心Rc的位置矢量rbc确定球与套圈的相互作用。相对位置向量rbc为

rbc=rb-(rr+rcr)，

(1)

式中：rcr为套圈沟道曲率中心与套圈质心的相对位置。

一旦由(1)式确定了球质心相对于套圈曲率中心的位置，就可求出几何相互作用，即接触变形为

δ=|rbc|-(f-0.5)Dw，

(2)

式中：Dw为球径；f为套圈沟曲率系数，其定义为套圈沟道曲率半径与球的直径之比。δ为负时表示球与套圈不接触，δ为正时表示球与套圈存在相互作用，可根据Hertz点接触理论计算接触载荷[9]，即

Q=Kδ1.5，

(3)

式中：K为Hertz接触系数，由轴承几何形状及轴承材料特性决定。

(4)

式中：ur,ub分别为套圈和球的平移速度；ωr,ωb分别为套圈和球的角速度；rp,Rp分别为接触区域上任意一点P相对于球质心和套圈质心的位置向量；Tac，Tia，Tir，Tib分别为方位坐标系到接触坐标系的变换矩阵、惯性坐标系到方位坐标系的变换矩阵、惯性坐标系到套圈定体坐标系的变换矩阵、惯性坐标系到球定体坐标系的变换矩阵。

则套圈和球在P点相对滑动速度为

us=ur-ub。

(5)

牵引润滑性能与相互作用的套圈和球间的相对滑动速度有关，如图2所示。牵引系数起初随着相对滑动速度的增大而增大；而在较高的相对滑动速度时，由于润滑剂中的剪切发热变得显著，牵引系数将达到最大值；此后，随着相对滑动速度的进一步增大，牵引系数又开始减小，牵引润滑模型服从下列关系：

图2 典型牵引-滑动模型Fig.2 Typical traction-slip model

k=(A+Bu)e-Cu+D，

(6)

式中：k为在相对滑动速度u下的牵引系数；A,B,C,D可根据实际牵引数据来计算。然后就可以根据P点相对滑动速度计算出P点增量力和增量力矩，在整个接触椭圆上积分即可得到作用在球和滚道上的合力和合力矩。

1.2 局部损伤模型

当套圈沟道表面出现局部损伤后，球与沟道间接触变形将发生突变，改变后的接触变形为

(7)

式中：δh为损伤深度；θb为球在滚道上的位置；θo为损伤位置；θd为损伤在滚道圆周上的圆周角的一半，由损伤直径wd所决定，如图3 所示。单点故障即在原有正常模型中引入(7)式进行联立。

图3 局部损伤模型Fig.3 Model of localized damage

复合故障模型为同时发生2种或多种不同的故障，多种故障在一起相互关联并相互影响。复合故障的动力学建模为局部故障模型的联立，即内外圈复合故障是内圈损伤模型与外圈损伤模型的联立。

1.3 动力学方程

轴承零件的运动分为：零件的质心运动和旋转运动。质心运动可通过Newton定律来求解，而旋转运动则用Euler运动方程来描述。

1.3.1 质心运动

对于套圈，可用笛卡尔运动坐标系描述其质心运动，即

(8)

式中：m为套圈质量；F为外力向量；下标x,y,z表示力的3个分量。

对于球的质心运动，采用圆柱坐标系来描述较为方便，即

(9)

式中：mb为球的质量；F为外力向量；下标x,r,θ表示力在圆柱坐标系下的3个分量。

另外，在轴承振动特性测试中，传感器通常安装在轴承座上，故在本模型中添加了轴承座以便分析轴承振动特性，轴承座模型如图4所示。轴承座的动力学方程为

图4 轴承座模型Fig.4 Model of bearing housing

(10)

式中：mh为轴承座的质量；ch为轴承座在z方向上的阻尼系数；kh为轴承座在z方向上的刚度系数。

1.3.2 旋转运动

轴承零件完全对称时，轴承零件的旋转运动可用下列Euler运动方程来描述

(11)

式中：I为惯性主矩；ω为角速度；G为外力力矩；下标1，2，3表示惯性主矩和角速度及外力力矩的3个分量。

2 仿真结果分析

通过四阶Runge-Kutta法对动力学方程进行数值积分求解，求解初值由拟静力学模型得到，初始积分步长Δt设置为1.0×10-5s，轴承参数见表1。仿真时外圈固定，内圈转速为10 000 r/min，并对轴承内圈施加250 N的纯径向力，损伤直径为1 mm，损伤深度为0.1 mm。

表1 滚动轴承结构参数Tab.1 Structural parameters of rolling bearing

由简单运动学和纯滚动假设可得深沟球轴承的内、外圈故障特征频率分别为[9]

(12)

代入数值计算可得外圈故障特征频率fbpfo=409.29 Hz,内圈故障特征频率fbpfi=590.71 Hz，另外轴承转频fr=83.33 Hz。

2.1 正常轴承动力学分析

球与内、外圈间的接触载荷如图5a所示，无游隙深沟球轴承内圈与球间最大接触载荷Qmax为[10]

图5 正常轴承振动响应特性Fig.5 Vibration response characteristic of normal bearing

(13)

式中：Fc为对内圈施加的径向力；Z为球数。

计算可得Qmax=104.2 N，与图中最大接触载荷104.8 N的误差仅为0.58%。从图5a中可看出：在高速运动时的离心力作用下，球与外圈间接触载荷大于与内圈间接触载荷。在径向力的作用下，轴承分为承载区和非承载区，在非承载区时内圈与球间接触载荷为0，即在非承载区球与内圈不发生相互作用。

轴承座z方向加速度如图5b所示，可以看出在轴承无损伤的情况下，轴承座加速度信号很平稳，加速度幅值在0.30 m/s2以下，且没有明显冲击。

2.2 外圈损伤轴承动力学分析

当外圈损伤时，球与外圈接触载荷如图6a所示，从图中可以看出，外圈存在表面损伤时,球与外圈间接触载荷会在球经过损伤位置时产生突变。从接触载荷局部放大的图6b可以看出，外圈损伤时，球与外圈间弹性变形陡然减小，而后在内圈的反作用下弹性变形将增大到正常状况下的数倍，故而产生较强的冲击；另外，外圈与球间接触载荷会在损伤处骤然减小，而后增大。轴承座径向加速度信号如图6c所示，可以看到每当球经过损伤部位时，轴承座的振动响应便会产生一个冲击；从轴承座的加速度包络谱(图6d)可以看到频率成分最为明显的外圈故障特征频率408.9 Hz以及逐渐衰减的2倍频、3倍频等成分。而由纯滚动和简单运动假设得到的理论计算结果为fbpfo=409.3 Hz，两者间的误差为0.95%。该误差是由于本模型考虑了润滑牵引作用，摒弃了纯滚动理论假设，因此本模型的结果更利于实际工况下的故障诊断。

图6 外圈损伤轴承振动响应特性Fig.6 Vibration responses characteristic of bearing with outer ring damage

2.3 内圈损伤动力学分析

当内圈损伤时，球与内圈接触载荷如图7a所示，从图中可以看到明显的冲击。另外，由于内圈旋转，球与内圈损伤部位将在不同方位发生碰撞，因此，冲击力大小将发生变化,冲击力的幅值受到转频调制。从内圈损伤时轴承座的加速度波形(图7b)可以看出，冲击只发生在承载区上，而在非承载区没有明显冲击。轴承座的加速度包络谱如图7c所示，从图中可以看出主要频率成分有内圈故障特征频率fbpfi(590.5 Hz)及其倍频成分(2fbpfi=1 181 Hz，3fbpfi=1 772 Hz)，故障特征频率倍频的边频(fbpfi±fr,2fbpfi±fr,3fbpfi±fr)，转频fr(83.2 Hz)及其倍频(2fi=166.3 Hz,3fi=250.2 Hz)，边频的产生是由于内圈损伤处的位置会随着内圈旋转而周期性变化，内圈的故障特征频率受到转频的调制。

2.4 内、外圈复合故障动力学分析

当内、外圈同时具有损伤时，轴承座的加速度波形如图8a所示，从图中可看出该波形较内、外圈单一损伤更为复杂，包含有单点缺陷时的冲击。而从内、外圈复合故障轴承座的振动包络谱(图8b)可以看到内、外圈故障特征频率成分及其倍频成分，还有内圈转频及其倍频成分。复合故障频率成分可看成是单点缺陷的非线性叠加，包含有单点损伤所有的频率成分。另外，复合故障特征信号不仅包含有单个故障的特征信号，还包括2种单故障信号作用在轴承上的相互调制的振动信号。

图8 复合故障轴承振动特性Fig.8 Vibration characteristic of bearing with compound fault

3 结论

在考虑球与滚道间的相对滑动作用和润滑牵引作用的前提下，以Gupta模型为基础建立了单点损伤及复合故障轴承的动力学模型，探索了单点损伤及复合故障对轴承内部接触载荷及轴承振动特性的影响规律，得出以下结论：

1)分析结果与传统理论假设有一定的偏差，该偏差是由于传统理论未考虑球在轴承运动中存在一定的相对滑动等复杂运动。分析将有助于研究和预测单点损伤轴承及复合故障轴承的动力学行为，并为轴承故障诊断提供一定依据。

2)验证了单点损伤频谱图的特征频率成分。外圈损伤轴承在包络谱上表现为以外圈故障特征频率为间隔的随频率增大而逐渐衰减的理论谱线；内圈损伤轴承的包络谱在各阶倍频特征频率处有幅值逐渐减小的谱线，且在各阶倍频处的两旁存在间隔等于转频的调制谱线。

3)在复合故障轴承仿真中，频谱结果图表明了复合故障频谱特性是单点损伤频谱的非线性叠加，频谱图包含有内外圈单点损伤的特征频率成分，还包含2种故障信号作用在轴承上相互调制的振动信号。