解“最值问题”的几种方法

陈龙

【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018） 11-0286-02

最值问题是我们所熟悉的问题，如今，经历了中学乃至大学的知识学习，我们接触到了各种各类的最值问题，同时我们也相应学习了求解各类最值问题的方法，而这些方法也有助于我们解决生活中各式各样的最值问题，下面我就为大家归纳下求解最值问题的几种方法.

一、配方法

对于可以转换成“一元二次函数型”的函数，我们都可以利用配方法对其最值进行求解.

例1 求在区间内的最值.

分析 本题看上去较为复杂，包括不同类型指数的运算，但稍加观察的话，你就会发现，此中的函数是可以转化为“一元二次型的函数”，再之后，答案也就呼之欲出了：

又，有，所以，当时，取得最大值为；当时，.

二、判别式法

对于一元二次方程，我们可以利用来判断其是否存在实根，那么对于一个一元二次函数，若其值域不为空集的话，那么我们就可以认为方程的判别式，由此求得原一元二次函数的值域，进而就可以求得该一元二次函数在某定义域内的最值情况.

例2 求函数的最值.

分析 本题可以利用配方法进行求解，但过程较为繁琐.观察原题，可以发现函数的值域不会为空集，因此可以考虑到利用判别式法进行求解.解法如下：

原等式可化为：

（）

可以得到

若，则有；若，则有.

于是，则；若，则.

这边需要注意的一点是，我们不能随意的断定等号是否会成立，还需要进行一项后续工作，将等号的值代入原方程，观察原方程是否有实数解，即是否有相应的值与对应.若存在，我们就可以直接确定最值了.

三、换元法

对于一些特殊的函数，我们可以利用换元法对其进行最值求解，基本思想是将某一部分当做一个整体或者用一个新的变量来代替某一整体，达到化繁为简，化陌生为熟悉，从而帮助我们更加便利的解决问题.换元法通常有三角代换和三角代换两种.

例3 求函数的最值.

分析 对于这类含根号的函数，为了化繁为简，换元法是比较大众的方法.求解如下：

由于，则所隐含的定义域为，于是，我们可以令，

则

又，则，故当时，即时，取得最大值为；

当时，即时，取得最小值为

四、不等式法

不等式法求解最值问题主要是利用以下几个重要的不等式及其变形来处理最值问题的.

不等式：（），其中

调和平均数： ② 几何平均数：

③算术平均数： ④平方平均数（均方根）：

注意：当且仅当时等号成立.

在用不等式求函数的最值时，经常需要配合某些变形技巧，结合已知条件进而进行求解.

例4 设，，记中最大数为，则的最小值为多少？

分析 本题的计算涉及到对数，准确应用对数的运算性质，认真观察，发现其中的技巧.

由已知条件可得所求为中最大的数，不妨设中最大的数为A，则.由于，所以，当且仅当时等号成立，此时为最小，那么A能否取到最小值2呢？容易知道，当时，，即A可以取得最小值2，从而的最小值为.

五、单调性法

求解函数在指定区间的最值的时候，我们应该考查该函数在该指定区间内的单调性情况.如果函数在该区间内是单调的，则该函数的最值在区间的端点上取得.若函数在该区间上并不是单调的，则我们就可以考虑把该区间分割成若干个小的区间，目的是使得该函数在分割的每一个小区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值情况，通过比较，得到整个区间上的最值.

例5 设函数是奇函数，对于任意均有关系，若时，且.求在上的最大值和最小值.

分析 本题若能确定在上的单调性，其最值也就可以相继求得.下面来考察在上的单调性：

设任意且，则.由题设可知，为奇函数，且，，则，

则在上单调递减，即在两端点处取得最值.

因为，则，进而.

又故在上的最大值为，最小值为

六、导数法

对于基本初等函数以及某些复合函数，我们可以利用导数这一工具有效的对其进行最值求解.设在上是连续，在上是可导，则在上的最大值和最小值就是在内的每个极值与中的最大值与最小值.利用导数的方法进行最值的求解适用性广，在解题的时候应该优先考虑.

例6 求数列的最大项.

分析 结合导数法，就可以较为简便的求出该数列的最大项.

设，则令，得，，又，可知，数列的最大项是第10000项，值为.

七、构造方差法

由于方差恒大于或者等于0的特征，我们也可以利用方差解决某些的最值问题.

例7 确定最大的实数Z，使得实数满足：

，.

分析 按照常规的思路，本题不容易攻克，可以巧妙的构造方差进行最值的求解.

由题设，知，

，构造的方差得，

所以，解得，故Z的最大值是.

八、三角函数最值的常见求法

1.巧用定义域

求解三角函数的最值问题，在大多数的题目中，我们必须清楚该函数的定义域，这是解决题目的基础和重要前提.

例8 已知，求得最大值和最小值.

分析 此类三角函数可以视作为

或的形式，求解其最值的过程中，根据已知条件中X的范围，我们就可以求解出的最值.在本题中：原函数可以转化为

又因为，可求得：，进一步即可以求得，则可以得到函数的最大值为2，最小值为.

2.巧用已知条件

大多数的数学题型中，题干中所给出的条件都有其特殊的作用和功能，所以，在解题的过程中，我们不能忽视任意一个条件.

例9 已知，求的最小值.

分析 本题的题目比较单一，已知条件显而易见的就一个，我们要做的是如何正确的去用好这个已知条件.当然，我们也不能盲目地瞎猜，根据题目要我们求的东西去巧妙地利用好这个已知条件.

根据题设，我们可以得到

现在，我们只需要确定的取值范围即可求解出原代数式的最小值.又，即所以可求得，故当时，原式有最小值为

3.巧用换元法

对于一些较为复杂的三角函数，为了求解的方便，我们可以去寻找题干的特点，化繁为简，换元法一般是首选.

例10 已知，求的最大值和最小值.

分析 对于三角函数，我们应该清楚，其存在着这么一种转化关系：

此中就启发我们可以运用换元法快捷简便地解决相应三角函数的最值问题.

本题中，我们可以设

则.

又，

故当时，，当时，.

4.巧引辅助角

三角函数是一个特殊的函数，自然也有其独门的“法宝”——辅助角公式，能否巧妙地运用辅助角公式也是能否成功解题的关键.

例11 求函数的最值.

分析 直观地来看，这是一个分式代数式，分子、分母中均含有三角函数，这无疑给解题增添不少难度，但如果我们对其做一个稍微的变形，情况可能就不一样了：

原函数可变为：，观察这个等式的特点，联想到辅助角公式，就可以得到：

（為辅助角）

即：

由得到：，

两边平方并整理，得：，

解得：，所以.