排列组合解题之拙见

2018-07-24 10:28卢佳荣
新教育时代·教师版 2018年24期
关键词:排法乙丙异面

卢佳荣

摘 要:在解决排列组合问题过程当中,学会总结,从该模块入手,寻求解决排列组合问题的解题思想方法。

关键词:解题方法 两个特殊

一、相邻问题(捆绑法)

某些元素要求必须相邻时,可将这些元素看成一个,然后与其他元素排列。

Eg1、7 人站成一排,甲、乙、丙三人须相邻,有多少种不同排法?

[析]:把甲、乙、丙三人看作一人以保证三个人相邻,与其余 4 人共 5 个人全排列,有A55种排法,切勿忘记而甲、乙、丙三人之间又有A33种排法,故共有A33·A55种排法

二、相离问题(插空法)

某些元素要求必须相离时,可将其他元素全排列,再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中

Eg2、7 人站成一排,甲、乙、丙三人彼此互不相邻,有多少种不同排法?

[析]:先安排除甲乙丙以外的四人共有A44中排法,四个人所留下的五个空再排入甲乙丙三人共有A53种排法,故共有A44·A53种排法。

三、同种元素分配问题(隔板法)

Eg3、学校组织篮球比赛,从4个班级中挑选12人组成一支代表队,每班至少一人,共有多少种不同分配方案

[析]:为了保证每班至少一人,我们可把4个班级看成4个盒子,12人看成完全相同的球,则4个盒子两两之间共有3个隔板,而12人之间共有11个空隙,将3个隔板放入11个空隙中保证了每个盒子至少一个球,所以共有C113种分配方案

四、错位问题(树型图)

Eg4、甲乙丙丁四人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法

[析]:树形图解决排列组合问题是一种比较直接的办法,对结果总数较少的问题可直接作图分析,结果不重不漏,如该题的树形图结构

五、抓住“特殊”合理分析

对于事件发生的过程,常常遇见含有约束条件的问题,应当做到从特殊条件入手(如特殊位置、特殊元素),按照事件发生过程,合理分类与分布,层层推进,做到不重不漏!

Eg5、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有 种

[析]:由题目所提供条件,很容易能确定出特输元素:甲和乙及特殊位置:排头与排尾。解决问题可分两类从甲排尾与甲不排尾(乙排头与乙不排头)入手。

甲若排尾则此时余下四个位置可全排列共有A44=24种排法

甲若不排尾则此时排尾只能从除甲乙外3人选1人排,有A31种排法,再考虑排头,则排头扣除已排掉的一人和甲不能排可从余下3人再选1人排,也有A31种排法,中间三个位置再全排列有A33种排法,故此时共有A31 A31 A33=54种排法,综上不同排法共有78种.

此类问题常见还有如:5列火车进入轨道时,快车A不能停放在第一轨道,慢车C不能停放在第三轨道,共有多少种不同停放方法

六、顺序固定问题

对于某些元素顺序固定的排列问题,可将所有元素全排列,然后除以顺序固定的几个元素的全排列。

Eg6、7个人排成一排,其中甲乙丙三人顺序一定,则共有 种排法?

[析]:七个人排不考虑甲乙丙三人顺序共有A77种排法,而甲乙丙三人顺序一定所以共有 种排法

七、平均分配问题

分配过程中要分清:是均匀的还是非均匀的;是有序的还是无序的,若属于平均分成几堆就除以所分堆数的全排列(如⑶),若是部分均分则可先选再分再排(如⑷)

分配过程种可把握先选后排(先分后排)的原则

Eg7、将6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法?

(1)分给学生甲3 本,学生乙2本,学生丙1本;

(2)分给甲、乙、丙3人,其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本;

(3)分给甲、乙、丙3人,每人2本;

(4)分给分给甲、乙、丙3人,其中一人4本,另两人每人1本;

(5)分成3堆,其中一堆4本,另两堆每堆1本

[析]:

(1)是指定人应得数量的非均匀问题:方法数为 ;

(2)是没有指定人应得数量的非均匀问题:方法数为 ;

(3)是指定人应得数量的均匀问题:

可先将书平均分成三堆(无顺序之分)故有 种分法,再将平均分成的三堆给甲乙丙三人共有 种方法;

(4)是部分均匀地分给人的问题:先从6本种选4本,再将余下两本平均分成两堆有: 种方法,分完之后再给甲乙丙三人共有 种方法

(5)是部分均匀地分堆的问题:共有 种方法

Eg10、有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为 ___

[析]:先选取两个不放球的盒子,有 种选法;再把4个球分成两堆,可分为两堆各为1,3个或两堆各有2个球这两类,

有 种;再把两堆分别放入两个盒子里有 种:

所求放法总数为 种

八、配对问题

成对元素出现的问题,若要成对出现则直接选取,若取出元素不成对,则可先取成对再从每对中各取一个元素

Eg8、从有10双不同的鞋子放在同一口袋中,从中任取4只,试求下列情况结果

①4只鞋子没有成双的②4只鞋恰成两双③4只鞋中恰有兩只成双两只不成双

[析]:①4只鞋子没有成双,可从10双鞋中先取出4双,再从每双中各取一只,故共有 种取法②4只鞋恰成两双,可直接从10双鞋中取出2双,共有 种取法③4只鞋中恰有两只成双两只不成双,分成两步,第一步先取成双的两只有 种取法,第二步再从余下的九双当中取出两双,再从两双中各取1只有 种取法,故共有 种取法

九、涂色问题

从构造的特殊区域出发,即特殊位置,特殊分析。

Eg9、如图,一个地区分5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种

[析]:特殊位置,特殊分析,因区域①与其它四个位置都相邻,所以可考虑先涂①,有4种涂法,②④,③⑤处于对角区域,须考虑颜色同与不同。不妨从②④出发,当②④涂同种颜色时,此时共有 种涂法;当②④涂不同种颜色时,此时共有 涂法,由分类计数原理,共有48+24=72种涂法

十、立体几何中的排列组合问题

Eg10、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有( )

(A)18对 (B)24对 (C)30对 (D)36对

[析]:三棱柱共6个顶点,6个顶点可连成 个不同的四面体,而每个四面体有三组异面直线,故共有 对异面直线解答排列组合问题,首先理解两个原理的区别,抓住概念的本质,其次分析问题过程中,从题目本身表述的意思作为解决问题的出发点,分析问题所属类型,最后抓住解决排列问题先选后排的原则,及特殊位置、特殊元素、特殊分析的方法。

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