李玲
摘 要:在中学数学中,绝对值是非常常见的一种概念,绝对值通过和其他多种数学知识进行相连后,便能够衍生出更多新型绝对值问题,在中学阶段,存在很多常见的绝对值问题,因此,本文对中学常见绝对值问题解法进行深入研究,具有重要意义。
关键词:中学 绝对值问题 解法
关于中学常见的绝对值问题,包括绝对值定义运用问题、一元一次绝对值不等式问题、一次绝对值函数问题、一元一次绝对值方程问题等,针对这些问题,本文分别给出了对应问题的解法,同时为便于理解,本文进行了例题分析。因此,本文对中学常见绝对值问题解法进行深入研究,具有重要意义。[1]
一、绝对值的几何意义
IaI的几何意义为:在数轴中,表示原点O和点a之间的距离。Ia-bI的几何意义为:在数轴中,点a和点b之间的距离。针对一些问题,如果采用绝对值的几何意义来进行解决,更为简单、直观,能够快速解决问题。[2]
二、一元一次绝对值方程的解法
(1)针对Ia+bI=c(a≠0)型的绝对值方程,其解法为:
②当c<0时,将绝对值的非负性作为依据,则可以获知该方程是無解的;
②当c=0时,原方程变为Iax+bI=0,即ax+b=0,则;
③当c>0时,原方程变为ax+b=c或ax+b=-c,
解得或者。
例1:求解I2x+3I=5
解:根据(1)可得,由于5>0,则原方程可以变形为2x+3=5或者2x+3=-5,解得x=1或者x=-4。
(2)针对Iax+bI=cx+d(ac≠0)型的绝对值方程,其解法为:
①将绝对值的非负性作为主要依据,可得cx+d≥0,进而能够将x的取值范围计算出来;
②将绝对值的定义作为主要依据,能够将原方程进行转型,变为两个方程,即ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d);
③对方程ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d)分别进行求解;
④将计算出来的解,代入cx+d≧0中,对其进行检验,将不合条件的解进行舍去。
例2:解方程:I4x+3I=2x+9
解:根据(2)可得,将绝对值的定义作为主要依据,对原方程进行变型,变为两个方程:4x+3=2x+9和4x+3=-(2x+9);分别解得x=3和x=-2;通过检验后,其结果都是成立的。
(3)针对Iax+b=Icx+dI(ac≠0)型的绝对值方程,其解法为:
①将绝对值的定义作为主要依据,对原方程进行变型,变为ax+b=cx+d或者ax+b=-(cx+d);
②对方程ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d)分别进行求解。
例3:求解I2x-1I=I3x+1I。
解:根据(3)可得,将绝对值的定义作为主要依据,对原方程进行变型,变为两个方程,即:2x-1=3x+1或者2x-1=-(3x+1)I3x+1I;分别解得x=-2和x=0。
(4)针对Ix-aI+Ix-bI=c(a
①将绝对值的几何意义作为主要一种,可得Ix-aI+Ix-bI≧Ia-bI;
②当Ia-bI=c时,方程的解为a≤x≤b;当Ia-bI>c时,此时方程是没有解的;
解:原不等式等价于
则,即;
则解集为。
(6)对含有多重绝对值符号的不等式进行求解时,可由外及内的顺序进行求解,对绝对值不等式类型的解题方法进行不断重复运用,将绝对值符号去掉,对其进行一一化解.
例9:求解Ix-I2x+1II>1
解:根据Ix-I2x+1II>1可得,x-I2x+1I>1或者x-I2x+1I<-1
(1)根据x-I2x+1I>1可得,x-1>I2x+1I
则或者;
即或者均无解;
(2)根据x-I2x+1I<-1可得,x+1 则或者; 即或者 因此,;原不等式的解集是。 四、一次绝对值函数的求解方法 在中学阶段,一次绝对值函数问题大致可以划分为4种类型,即:其一,函数图象;其二,解析式;其三,值域;其四,定义域。经过分类讨论后,将绝对值号去除,这是一次绝对值函数问题求解的关键。其中,令绝对值内的式子为0是分类标准,进而能够将数轴划分为若干段,便能够进行讨论了,然后将函数解析式写出来,对相应函数图像进行画出来,则问题便会变得清晰、明朗。 例10:求解y=Ix+2I-Ix-5I,同时将定义域和值域写出来。[4] 解:y=Ix+2I-Ix-5I,先分别令x+2=0,x-5=0,可得x=-2,x=5。此时,把数轴划分为3大段,即:①当x<-2时,x+2<0,x-5<0,因此y=-(x+2)-(-(x-5))=-7; ②当-2≤x≤5时,x+2>0,x-5<0,则y=(x+2)+(x-5))=2x-3; ③當x>5时,x+2>0,x-5>0,则y=(x+2)-(x-5))=7; 因此 其中,最小值是-7,最大值是7,由此可得,该函数的值域是[-7,7],定义域是R。 例11:将函数y=Ix-5I+Ix+3I的图像画法指出来。 解:①将绝对值符号去除,求出分界点:x-5=0,x=5;x+3=0,x=-3,则分界点就是-3和5; ②根据不同情况进行讨论:当x≤-3时,y=Ix-5I+Ix+3I=5-x-x-3=2-2x;当-3 ③根据上文3个区间所对应的函数解析式,便能够将带有绝对值符号的函数图像画出来了。 参考文献 [1]夏福新.中学数学实践教学初探[J]. 新课程(中学) .2017(01). [2]曲永安.浅论中学数学创新教学[J]. 新课程学习(下) .2017(04). [3]刘士斌,杨志华. 中学数学“四步试卷讲评模式”课例分析[J].时代教育. 2017(18). [4]包丽鸥.基于“四创”教学的中学数学教学研究[J]. 创新时代 .2017(09).